函数的对称性
知识梳理
一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
①常数函数②一次函数③二次函数④反比例函数⑤指数函数⑥对数函数⑦幂函数⑧正弦函数
⑨正弦型函数yAsi
x既是轴对称又是中心对称⑩余弦函数⑾正切函数⑿耐克函数
⒁绝对值函数：这里主要说的是yfx和yfx两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称后者是
把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如yl
x就没有对称性，
而ysi
x却仍然是轴对称。
⒂形如
y

axbcxd
c

0ad

bc的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
x


dc
由分母为零确定和直线
y

ac
由分子、分母中
x
的系数确定，对称中心是点

dc

ac

。
二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性，我们称其为互对称。】
1、函数yfx图象本身的对称性（自对称问题）
（1）轴对称
①yfx的图象关于直线xa对称faxfaxfxf2ax
fxf2ax
f②faxfbxyfx的图象关于直线xaxbxab对称
2
2
特别地，函数yfx的图像关于y轴对称的充要条件是fxfx
（2）中心对称
①yfx的图象关于点ab对称faxfax2bfxf2ax2bfxf2ax2b
。
②faxfbx2cyfx的图象关于点abc对称2
特别地，函数yfx的图像关于原点00对称的充要条件是fxfx0
（3）对称性与周期性之间的联系
①若函数fx既关于直线xa对称，又关于直线xb对称ab，则函数fx关于无数条直线对称，相邻对称
轴的距离为ba；且函数fx为周期函数，周期T2ba；
特别地：若yfx是偶函数，其图像又关于直线xa对称，则fx是周期为2a的周期函数；②若函数fx既关于点a0对称，又关于点b0对称ab，则函数fx关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为ba；且函数fx为周期函数，周期T2ba；③若函数fxr