柯西不等式（原始版）的习题分类
柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II的选修45不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对
柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。
一、柯西不等式（原始版）
1、a12a22
b12b22

a1b1

a2b22
，当且仅当向量
a


a1a2，b

b1b2
同向时候成立，如果b1b2

0
时，
那么当且仅当a1a2时成立。b1b2
2、a12a22a32b12b22b32a1b1a2b2a3b32，当且仅当a1a2a3b1b2b3时等号成立。
3、


ak2


bk2


akbk
2
，当且仅当
a1
a2
a3
a


b1
b2
b3
b

时等号成立。
k1
k1
k1

由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。二、常见题型
1、1次1次常数。
例1、已知ab1，且ab0，求11的最小值。ab
解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式
一定是11k，k为某个常数，那么不等式左边1次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以ab，这样ab
左边变成了ab11，次数就成为了0，就可以应用柯西不等式。
ab
1a

1b


1a

1b
a


b


1aa
1b
b
2

4，当且仅当a

b

12
时等号成立，所以
1a

1b
的最小值为
4。
显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。
例2、若abc0，求证111abc9。
abc
解析：可以直接应用柯西不等式

1a

1b

1c
a


b

c


1aa
1bb
1c
c
2

9，当且仅当a

b

c
1时等号成立。
练习：
1、已知abc0，证明：1119。abcabc
2、已知
abc

0
，证明：
a
1
b

b
1
c

c
1
a

2a
9b

c
。
提示：2abcabbcca。
f3、已知abc0，并且abc1，求cab的最小值。abbcca
提示：c11；a11；b11。ababbcbccaca
4：已知abc，证明114。abbcac
提示：设xab，ybc，则acxy，且xy0。
2、2次常数1次
例3、已知x2y21，求xy的取值范围。4
解析：这道题可以用椭圆求切线的方法，也可以利用参数方程，但是利用柯西不等式会更简单。
这类问题是转化形如
x24

y2
k1


k2
x

y2（k1k2
为某两个常数）的柯西不等式进行求解，关键是常数k1k2
的确定。观察柯西不等式
a12a22
b12b22

a1b1a2b2
2，有ai2bi2
aibi
2
，
i
12
，相应的
x24
k1

x2
，
y2k2y2，r