复习课一导数及其应用导数的概念及几何意义的应用
1近几年的高考中,导数的几何意义和切线问题是常考内容,各种题型均有可能出现.2利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点.
考点精要
1已知切点Ax0,fx0求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′x0;2已知斜率k,求切点Ax1,fx1,即解方程f′x1=k;3已知过某点Mx1,fx1不是切点的切线斜率为k时,常需设出切点Ax0,fx0,利用k=fxx11--fx0x0求解.典例全国卷Ⅱ已知fx为偶函数,当x≤0时,fx=e-x-1-x,则曲线y=fx在点12处的切线方程是________.解析设x>0,则-x<0,f-x=ex-1+x∵fx为偶函数,∴f-x=fx,∴fx=ex-1+x∵当x>0时,f′x=ex-1+1,∴f′1=e1-1+1=1+1=2∴曲线y=fx在点12处的切线方程为y-2=2x-1,即2x-y=0答案2x-y=0类题通法1利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.②如果已知点不是切点,则应先出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.2曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,例如,y=x3在11处的切线l与y=x3的图象还有一个交点-2,-8.
题组训练
1.曲线y=x+x2在点-1,-1处的切线方程为
A.y=2x+1C.y=-2x-3
B.y=2x-1D.y=-2x-2
解析:选A∵y′=x′x+2x+-2x2x+2′=x+222,
∴k=y′x=-1=-12+22=2,
∴切线方程为:y+1=2x+1,即y=2x+1
f2.已知曲线y=x+l
x在点11处的切线与曲线y=ax2+a+2x+1相切,则a=________
解析:∵y=x+l
x,∴y′=1+1x,
y′x=1=2
∴曲线y=x+l
x在点11处的切线方程为y-1=2x-1,即y=2x-1法一:∵y=2x-1与曲线y=ax2+a+2x+1相切,∴a≠0当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行.
由yy==2axx-2+1,a+2x+1,消去y,得ax2+ax+2=0由Δ=a2-8a=0,解得a=8法二:设y=2x-1与曲线y=ax2+a+2x+1相切于点x0,ax20+a+2x0+1.∵y′=2ax+a+2,
∴y′x=x0=2ax0+a+2.
由2aax20x+0+aa++22x=0+21,=2x0-1,
解得x0=-21,a=8
答案:8
导数与函数的单调性
1题型既有选择题、填空题也有解答题,若以选择题、填空题的形式出现,则难度以中、低档为主,若以解答题形式出现,难度则以中等偏上为主,主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。
2在利用导数讨论r