x2x3
1aa2a3
fx
xaxbxcabacbc
1bb2b3
1cc2c3
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式fx的x的系数为
1aa2abbcacabacbcabbcac1bb2
1cc2
但对（）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故
1a2a31111b2b3
1c2c3
4对D2
按第一行展开，得
3
fa
b00a
b
D2
a
abcd
ab
b
cd
c
d00c
d
0
0dc0
0
adD2
1bcD2
1adbcD2
1
据此递推下去，可得
D2
adbcD2
1adbc2D2
2adbc
1D2adbc
1adbcadbc

D2
adbc
5对行列式的阶数
用数学归纳法当
2时，可直接验算结论成立，假定对这样的
1阶行列式结论成立，
进而证明阶数为
时结论也成立按D
的最后一列，把D
拆成两个
阶行列式相加：
1a11
1
1D

1a2
1
11
1
a1a2但由归纳假设
a
1a
D
1
11a11
1
11a2
111
11
1010
1a
101a

D
1a1a2
a
11

1i1
1ai

从而有
D
a1a2
a1a28计算下列
阶行列式
a
1a
a1a2
a
1
1

1i1
1ai

a
1a

1

i1
1ai


1

i1
1ai


i1
ai
4
fx1
1
1x
1
1D

1222222D
223
222；
11
x
222


xy00xy3D
000y00
2101210125D

0000
4D
aij其中aijijij12
；xy0x
000000
000
21
000
12
【解】1各行都加到第一行，再从第一行提出x
1得
11
1
1x
1
D
x
1

11
x
将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得
11
1
1x1D
x
1
0x
1x1
1
00
x1
1222
1000
1r2r1010
2
D

r3r1
1
0
0
2
r
r1
2
0
0
按第二行展开
0
222010002
1000

2
2
0
02
2
000

2
5
f3行列式按第一列展开后，得
xy0
00
y00
0xyD
x
000
00
xy0
y1
10xy
xy
y00
0x
000
xx
1y1
1y
1
x
1
1y

4由题意，知
012
a11a12
a
11
0
1
D
a21a22
a
22
1
0
000000xy
1
2
3
a
1a
2
a

1
2
3
0
012111后一行减去前一行111

2
11111自第三行起后一行减去前一行
111111
1111
012111020
000000

2
1
12
11
20
0
0按第一列展开02
0000
20

2
10000
20
20按第
1列展开1
1
102
00
001
r