达东岸的地点x，y为
xl
y
yxl

l1

3
2u3v0
0

f二．质点动力学
1牛顿运动定律基本内容：牛顿运动三定律，惯性力1运用微积分处理力学问题：根据力函数的形式选择运动定律的形式；正确地分离变量
例4如例4图，光滑水平面上固定一半径为r的薄圆筒，质量为m的物体在筒内以初速率v0沿筒的内壁逆时针方向运动，物体与筒内壁接触处的摩擦系数为μ。求：
1作用在物体上的摩擦力；2物体的切向加速度；3物体速度从v0减小到v03所需的时间和经历的路程。
解由题意知物体作半径为r的圆周运动，设任一时刻t物体的速率为v，受力情况如例4图所示，N和f分别是环内壁作用在物体上的弹力和摩擦力，物体所受重力和水平面的支承力在竖直方向相互平衡，图中未画出。在自然坐标系
中的分量式是
法向切向
N
ma


m
v2r

f
ma
mdvdt
231232
1由fNmv2mdv，得rdt
dtrdvv2
两边积分
tdtr
0

vdvvv02
得故再由摩擦力公式和231式得
tr11vv0
vv0rrv0t
f
N
mv2r

mv02rrv0t2
即摩擦力随时间t逐渐减小；方向沿圆周切向与物体相对于筒的运动方向相
反。
2由232式得
f3当vv0时，有3
得
a
fm

v2r
v02rrv0t2
v0v0r3rv0t
再由vds，有dt
两边积分
2rt
v0dsvdtrv0dt
rv0t
2r
0sds＝rv0
v00
dtr＋μv0t
得
s＝μrl
r＋μv0t
2r
v00
＝μr
l
3
例50036，绳子张力
一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设O转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为
L
r处绳中的张力Tr．
O′
解：取距转轴为r处，长为dr的小段绳子，其质量为MLdr．
取元，画元的受力图
由于绳子作圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，

由牛顿定律得：
Ordr
TrTrdrMLdrr2
令
Tr－TrdrdTr
得
dT－M2Lrdr
O′TrTrdr
由于绳子的末端是自由端
TL0
0
L
有
dTM2Lrdr
Tr
r
∴
TrM2L2r22L
2牛顿定律只在惯性系中成立，非惯性系中应用相对运动关系式或引入惯性力。
f例6一光滑直杆OA与竖直轴Oz成角（为常数）．直杆以匀角速度绕Oz轴转动，杆上有一质量为m的小滑环，在距O点为l处与直杆相对静止如图示．试以OA杆为参考系求出此时杆的角速度，并讨论小滑环是否处于稳定平衡？
z
Am
l
O
解mg：、1N取及杆惯性OA离为心参力m考gF系三，N者小合环F力处为于0零静止状态，受力如图：
zN
AF
mg
其中
Fmlsi
2
①
O
将r