一．质点运动学
基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速
度，极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描
述，相对运动
1运动学中的两类问题
1已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要是利用求导数的方法。
例1一艘船以速率ｕ驶向码头P，另一艘船以
速率v自码头离去，试证当两船的距离最短时，两
船与码头的距离之比为：
vucosuvcos
u
设航路均为直线，为两直线的夹角。
A
P
xy
B
l
v
证：设任一时刻船与码头的距离为x、y，两船的距离为l，则有
l2x2y22xycos
对ｔ求导，得
2ldl2xdx2ydy2cosxdy2cosydx
dt
dt
dt
dt
dt
将dxudyv代入上式，并应用dl0作为求极值的条件，则得
dt
dt
dt
0uxvyxvcosyucos
xuvcosyvucos
由此可求得
xvucosyuvcos
即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为
vucosuvcos
2已知质点加速度函数a＝ax，v，t以及初始条件，建立质点的运动方程。
这类问题主要用积分方法。
例2一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间后，加速度为2a0，经过时间2后，加速度为3a0…求经过时间
后，该质点的速度和走过的距离。
解：设质点的加速度为∵t时，a2a0即由advdt，得
aa0t∴a0aa0a0t，
dvadt
v
t
dva0a0tdt
0
0
∴
v

a0t

a02
t2
f由
vdsdt，dsvdt
s
0
ds

t
vdt
0

t0
a0t

a02
t2dt
sa0t2a0t326
t
时，质点的速度
v


12



2a0
质点走过的距离
s


16


2



3a0
2
2相对运动
例3有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u0，靠两岸
的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成
正比．今有相对于水的速度为v0的汽船由西岸出发向东偏北45°方向航行，试
求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点．
解：以出发点为坐标原点，向东取为x轴，向北取为y轴，因流速为y方向，
由题意可得
ux0
uyaxl22＋b
令x0xl处uy0xl2处uy＝－u0，代入上式定出a＝4u0l2、ｂ＝－
u0，
而得
uy
船相对于岸的速度v
4u0l2
l

xx
vx，vy明显可知是
y
vxv02
vyv02uy，将上二式的第一式进行积分，有
还有，
xv0t2
v0
45°
u0
l
x
vy

dydt

dydx
dxdt

v02
dydx

v02

4u0l2
l

xx
即
dd
yx
1
42u0l2v0
l

xx
因此，积分之后可求得如下的轨迹航线方程：
y

x
22u0lv0
x2

42u03l2v0
x3
到r