文档编号：YLWK675449
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共8题，满分160分。
一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初
始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释
放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为；物块边长为b，密度为，且。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。
解：
由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高
度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标
原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x系
设物块下底面的坐标为x，在物块未完全浸没入湖水时，其所
受到的浮力为
fbb2xg
xb
1
式中g为重力加速度物块的重力为
fgb3g
2设物块的加速度为a，根据牛顿第二定律有
b3afgfb
3将1和2式代入3式得
a


gb

x


b

4
将x系坐标原点向下移动b而建立新坐标系，简称X系
11
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新旧坐标的关系为Xxb
5

把5式代入4式得
agX
6
b
6式表示物块的运动是简谐振动若X0，则a0，对应于物
块的平衡位置由5式可知，当物块处于平衡位置时，物块
下底面在x系中的坐标为
x0b
7
物块运动方程在X系中可写为
XtAcost
8
利用参考圆可将其振动速度表示为
VtAsi
t
9
式中为振动的圆频率
gb
10
在8和9式中A和分别是振幅和初相位，由初始条件决定在物块刚被释放时，即t0时刻有x0，由5式得X0b
11
V00
12
由8至12式可求得
Ab
14
13
将10、13和14式分别代人8和9式得
11
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Xtbcost
Vtgbsi
t

1516
由15式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振
动周期；但物块的运动始终由15表示是有条件的，那就是
在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中若物块从某
时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒
力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初
始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定为此，必
须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况显然，在x系中看，物块下底面坐标为b时，物块刚好被完全浸没；由5式知在X
系中这一临界坐标值为

X

Xb

1

b
（17）即物
块刚好完全浸没在湖水r