第8讲
正弦定理和余弦定理的应用举例
对应学生用书P70考点梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角如图①．
2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α如图②．4坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．【助学微博】解三角形应用题的一般步骤1阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．2根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．3根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．4将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正
f弦定理或余弦定理求解．2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程组，解方程组得出所要求的解．考点自测1．2012江苏金陵中学已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．解析记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则a＋42＝a－42＋a2－2aa－4cos
1120°，解得a＝10，故S＝2×10×6×si
120°＝153答案153
2．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．解析答案BC由正弦定理，知si
60°＝56AB解得BC＝56海里．si
180°－60°－75°
3．2013日照调研如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里时．解析68si
120°346由正弦定理，得MN＝si
45°＝346海里，船的航行速度为4＝
176海里时．2答案1762
4．在△ABC中，若23absi
C＝a2＋b2＋c2，则△ABC的形状是________．解析由23absi
C＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2abcosC相加，得a2＋b2＝
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