一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线y＝1x2bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，
2
0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MCMA的值最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝1x23x2，顶点D的坐标为（3，25）；
22
28
（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（3，5）．24
【解析】
【分析】
（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x3对称，求出点B，C的坐标，根2
据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MCMB的值最小．则BC与直线
x3交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．2
【详解】
（1）∵点A（1，0）在抛物线y1x2bx2上，∴1（1）2b×（1）2＝0，
2
2
解得：b3，∴抛物线的解析式为y1x23x2．
2
22
y1x23x21（x23x4）1（x3）225，∴顶点D的坐标为
22
2
228
（3，25）．28
（2）当x＝0时y＝2，∴C（0，2），OC＝2．
当y＝0时，1x23x2＝0，∴x1＝1，x2＝4，∴B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB22
f＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2OC2＝5，BC2＝OC2OB2＝20，∴AC2BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为（3，25），∴抛物线的对称轴为x3．
28
2
∵抛物线y1x2bx2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x3对称．
2
2
∵A（1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y1x23x2＝2，则点C22
的坐标为（0，2），则BC与直线x3交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：2
MA＝MB，两点之间线段最短可知，MCMB的值最小．
设直线
BC
的解析式为
y＝kxb，把
C（0，2），B（4，0）代入，可得：
b24kb

0
，
解得：
k

12
，∴y
1x2．
b2
2
当x3时，y1325，∴点M的坐标为（3，5）．
2
22
4
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【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判
定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
2．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直r