：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。
图1图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM∠A1AN，
f∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1MA1N，从而OMON。∴点O在∠BAD的平分线上。（2）∵AMAA1cos
133×223AM32。∴AO2cos4
又在Rt△AOA1中，A1O2AA12AO29－
99，22
∴A1O
3232，平行六面体的体积为V54302。22
题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是236，这个长方体对角线的长是（A．2）
3
B．3
2
C．6
D．
6
解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a1，b＝为la2b2c26；答案D。
2，c＝3，则对角线l的长
点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例4．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则VV1V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF
1S4
V1
1171hSSSSh344125Sh，12
V2ShV1
∴V1∶V27∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型3：锥体的体积和表面积
f例5．（2006上海，19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？解：（1）在四棱锥PABCD中，由PO⊥平面ABCD得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO60°。在Rt△AOB中BOABsi
30°1由PO⊥BO，AB

P
EO
DC
于是POBOta
60°3，而底面菱形的面积为23。∴四棱锥P－ABCD的体积V
1×23×32。3
点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例6．（2002京皖春文，19）在三棱锥SABC中，∠SAB∠SAC∠ACB90°，且ACBC5，SB5（如图所示）5。
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB∠SAC90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩ACA，∴SA⊥平面ABC。由于∠ACB90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。∴∠SCA是侧r