3三个正数的算术几何平均不等式
一、选择题
1已知x2y3z6则2x4y8z的最小值为
A3
B2
C12
解析∵2x04y08z0
∴2x4y8z2x22y23z≥333×412
当且仅当2x22y23z
即x2y1z时等号成立
答案C
2设ab∈R且ab3则ab2的最大值为
A2
B3
C4
解析∵ab24a×
≤4
44×134
当且仅当a1时等号成立
∴ab2的最大值为4
答案C
3若logxy2则xy的最小值是
D12D6
A
B
C
D
解析∵logxy2∴x0且x≠1y0且yx2∴xyxx2≥3
当且仅当即x时等号成立
1
f答案A
4已知圆柱的轴截面周长为6体积为V则下列不等式正确的是
AV≥π
BV≤π
CV≥π
DV≤π
解析如图设圆柱的半径为R高为h则4R2h6即2Rh3
VShπR2hπRRh≤ππ当且仅当RRh1时取等号
答案B
5若ab0则a的最小值为
A0
B1
C2
D3
解析∵aabb≥33当且仅当a2b1时取等号∴a的最小值为3
答案D
二、非选择题
6设x0则x2≥

解析∵x0
∴x2x2
≥33
当且仅当x2即x1时等号成立
∴x2≥3
答案3
7已知0x45则x292x的最大值是

解析由题可知x292xxx92x
因为0x45所以92x0
所以
即≤3所以x292x≤27
当且仅当x92x即x3时等号成立
因此当x3时x292x有最大值是27
答案27
2
f8已知a0b0c0且abc1对于下列不等
式①abc≤②≥27③a2b2c2≥④abbcca≤其中正确不等式的序号是

解析∵abc∈0∞∴1abc≥3
0abc≤≥27
从而①正确②也正确
又1abc2a2b2c22ab2bc2ca≤a2b2c2a2b2b2c2c2a23a2b2c2
∴a2b2c2≥从而③正确又22abc2a2b2b2c2c2a24ab4bc4ca≥2ab2bc2ca4ab4bc4ca6abbcca0abbcca≤∴④正确
答案①②③④
9已知abc同号且互不相等abc1求证
9
解：证明

3
∵abc同号且abc1
∴a0b0c0
∴均大于0
又abc互不相等
∴3
369
∴9
10有一块边长为36cm的正三角形铁皮从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器要使这个容器的容积最大剪下的三个四边形面积之和等于多少最大容积是多少
解剪下的三个全等的四边形如图所示设A1F1xcm则AF1xcm
∴A1B1F1F2362x∴V362x2x6x6x2x
3
f∵0x6∴6x0又6x6x2x12∴当6x2x即x2时V有最大值这时V最大43864cm3∵xxx212cm2∴三个四边形面积之和等于36cm2
4
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