3．三个正数的算术几何平均不等式
1．定理3
如果a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
1不等式a＋3b＋c≥3abc成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a＝b＝c
2定理3可变形为：①abc≤a＋3b＋c3；②a3＋b3＋c3≥3abc
3三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．
2．定理3的推广对于
个正数a1，a2，…，a
，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1＋a2＋
…＋a
≥
a1a2…a
，当且仅当a1＝a2＝…＝a
时，等号成立．
用平均不等式证明不等式例1设a，b，c∈R＋，求证：
a12＋b12＋c12a＋b＋c2≥27
思路点拨本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题．
证明∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33abc0，
从而a＋b＋c2≥93a2b2c20，
11131又a2＋b2＋c2≥3a2b2c20，
∴a12＋b12＋c12a＋b＋c2
3≥3
13a2b2c29
a2b2c2＝27
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1
f证明不等式的方法与技巧1观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．2三个正数的算术几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．
1．设a，b，c∈R＋，求证a＋b＋c1a＋1b＋1c≥9证明：∵当a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥33abc，1a＋1b＋1c≥33a1bc∴a＋b＋c1a＋1b＋1c≥9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．已知a1，a2，…，a
都是正数，且a1a2…a
＝1，求证：2＋a12＋a2…2＋a
≥3
证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥33a1同理2＋aj≥33ajj＝23，…，
．
将上述各不等式的两边分别相乘即得2＋a12＋a2…2＋a
≥33a133a2…33a
＝3
3a1a2…a
∵a1a2…a
＝1，∴2＋a12＋a2…2＋a
≥3
当且仅当a1＝a2＝…＝a
＝1时，等号成立
用平均不等式求最值
例21求函数y＝x－123－2x1x32的最大值．2求函数y＝x＋x－412x1的最小值．
2
f思路点拨1对于积的形式求最大值，应构造和为定值；2对于和的形式求最小值，应构造积为定值．解1∵1x32，∴3－2x0，x－1r