复数
1．复数的概念：
（1）虚数单位i；
（2）复数的代数形式zabi，ab∈R；
（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集


实
数
b

0

有
理
数
整

分
数数
复
数
a

bia
b

R

无理数无限不循环小数

虚
数
b

0
纯虚非纯虚
数a数a
00
3．复数abiab∈R由两部分组成，实数a与b分别称为复数abi的实部与虚部，1与i
分别是实数单位和虚数单位，当b0时，abi就是实数，当b≠0时，abi是虚数，其中
a0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a0仅是复数abi为纯虚数的必要条件，若ab0，则abi0是实数。
4．复数的四则运算
若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i，
（1）加法：z1z2a1a2b1b2i；
（2）减法：z1－z2a1－a2b1－b2i；
（3）乘法：z1z2a1a2－b1b2a1b2a2b1i；
（4）除法：
z1z2

a1a2
b1b2a2b1a1b2ia22b22
；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：①i
为整数的周期性运算；②1±i2±2i；
13③若ω22i，则ω31，1ωω20
5．共轭复数与复数的模（1）若zabi，则zabi，zz为实数，zz为纯虚数b≠0（2）复数zabi的模Za2b2且zzz2a2b26根据两个复数相等的定义，设abcd∈R，两个复数abi和cdi相等规定为
fabicdi

ab

cd

由这个定义得到abi0
a0b0
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
4．复数abi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。
若b0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2－1结合到实际运算过程中去。如abia－bia2b2
6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足cdixyiabicbi≠0的复数xyi叫做复
数abi除以复数cdi的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即
abiabicdiacbdbcadi
cdicdicdi
c2d2

7．复数abi的模的几何意义是指表示复数abi的点到原点的距离。
（二）典型例题讲解
1．复数的概念
例1．实数m取什么数值时，复数zm1m－1i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚
数？（4）对应的点Z在第三象限？
解：复数zm1m－1i中，因为m∈R，所以m1，m－1都是实数，它们分别是z的
实部和虚部，
∴（1）m1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；
m10（3）当m10时，即m－1时，z是纯虚数；
m10r