2010年全国高中数学联合竞赛一试年全国高中数学联合竞赛联合竞赛一试题参考答案及评分标准
说明：说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准分两档；其他各题的评阅，的评分档次给分，不要增加其他中间档次的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评分，分为一个档次，分为一个档次，不要增加其他中间档次。评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。、一、填空题（本题满分64分，每小题8分）填空题（1函数fx
x5243x的值域是33
解：易知fx的定义域是58，且fx在58上是增函数，从而可知fx的值域为332已知函数yacos2x3si
x的最小值为3，则实数a的取值范围是
2解：令si
xt，则原函数化为gtata3t，即
3≤a≤122
gtat3a3t由
at3a3t≥3，
att213t1≥0，t1att13≥0及t1≤0知
att13≤0即
at2t≥3
（1）
当t01时（1）总成立；对0t≤10t2t≤2；对1t0从而可知
1≤t2t04

3≤a≤122
3双曲线x2y21的右半支与直线x100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是9800解：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，ykk1299与双曲线右半支于Ak交直线x100设于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为
∑99k99×494851又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为
k1
99
2×4851989800
4已知a
是公差不为0的等差数列，b
是等比数列，其中a13b11a2b23a5b3，且存在常数αβ使得对每一个正整数
都有a
logαb
β，则αβ解：设a
的公差为db
的公比为q，则
3
33
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f3dq
（1）
2
334dq2，
（2）
（1）代入（2）得912dd6d9，求得d6q9从而有即从而求得
36
1logα9
1β对一切正整数
都成立，
6
3
1logα9β对一切正整数
都成立logα963logαr