2x3．令y＝0，得x22x30．
解这个方程，得x3＝1，x4＝3．此时，B点的坐标是B3，0．
3当m＝0时，二次函数为yx21，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，
函数值y随x的增大而减小．
当m＝2时，二次函数为yx22x3x124，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1，
所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．【总结升华】
从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．
举一反三：
【变式】（2016门头沟一模）已知关于x的一元二次方程mx23m1x30．（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线ymx23m1x3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求
此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线ymx23m1x3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛
物线在－3≤x≤1之间的部分为图象G，如果图象G向右平移
（
＞0）个单位长度后与直线CD2
有公共点，求
的取值范围．
y
O
x
【答案】
（1）证明：∵△3m12－4×m×33m－12
∵3m－12≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根．
（2）解：令y0，那么mx23m1x30
解得
x1

3，
x2


1m

∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴m1
∴抛物线的表达式为yx24x3
（3）解：∵当x0时，y3，∴C（0，3）
f∵当y0时，x1－3，x2－1又∵点A在点B左侧，∴A（－3，0），B（－1，0）∵点D与点B关于y轴对称，∴D（1，0）设直线CD的表达式为ykxb
∴
k

b

0
，
b3
解得
kb

3，3
∴直线CD的表达式为y－3x3
又∵当
x


12
时，
y



12
2

4


12


3

54

∴A（－3，0），E（1，5），24
∴平移后，点A，E的对应点分别为A（－3
，0），E（1
，5）
2
4
当直线y－3x3过点A（－3
，0）时，
∴－3－3
30，
∴
4
当直线y－3x3过点E（1
，5）时，
2
4
∴
3

12




3

54
，
∴
1312
∴
的取值范围是13≤
≤412
类型三、以代数为主的综合题
3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为2，0，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．
1求点B的坐标；2求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；3在2中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出r