将实现均衡，但是这种均衡不是自然实现的，而是种种“抑制”的产物。所以，Malthus模型假设条件如下：1．设Pt表示t时刻的人口数，且Pt连续可微。2．人口的增长率r是常数增长率出生率死亡率。3．人口数量的变化是封闭，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每一个都具有同样的的生育能力与死亡率。（二）Logistic模型由于地球上的资源有限，当人口数量发展到一定阶段后，会产生一系列问题，如食物短缺、居住和交通拥挤等。另外，随着人口密度的增加，疾病将会增多，死亡率会上升，因此，人口的增长率不会是Malthus所假设的是一个常数不改变，而是会随着人口数量增加而减少。假设增长率r表示Pt的函数rp，且rp为p的减函数。1设rp为p的线性函数，rprkp。2自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为Pm，即当PPm时，增长率rp0。
四、变量说明
符号Ptr
pm
表示意义人口数量
年份人口自然增长率人口最大容纳量
p0
起始年人口
五、模型建立与模型求解
51Malthus模型
由假设一，t时刻到tt时刻人口增量为
PttPtrPtt
dprp于是可得dt
pt0p0
f由分离变量法解得模型的解为
ptp0ert
对该模型两边同时取对数得到一次线性拟合函数
yl
pal
p0yrta
取表中1982到1998年的数据在MATLAB中M文件（附录2）进行线性最小二乘拟合可得出
f0013141t145121所以可知r0013141pt101654exp0013141t1982用MATLAB进行指数拟合得到下图
图2可以看出拟合曲线基本吻合，但是随着时间t的增加其误差逐渐加大，所以需要对其修正。
52Logistic模型由假设二可知，记pt是第t年的人口数量，人口增长率rp是p的线性函数，rprkp。最大人口容纳量为Pm。即当PPm时，增长率rp0。所以，
fdprpprp1p
dt
pm521
pt0p0
同样利用分离变量法求得其解
pt
pm
1pm1exprtt0
p0
522
dpp根据（521）式作出dt的曲线图（图1）以及由（522）式作出pt曲线
图（图2）
dpdt
pm2图1dpp曲线图
dt
pmp02p0
O
图2pt曲线图
从上述曲线图以及表达式中，我们可以总结出如下规律：
limptpm
t
，它表明不管人口初始状态是什么样，人口总数最终都将
趋于最大人口容纳量。
dp
dp
当ptpm时，dt0；当ptpm时，dt0。它表明当人口数量超过最大人口
容纳量时，人口数量将减少，当人口数量小于最大人口容纳量时，人口数量将增加。
fdpppm人口变化率dt在2时取到最大值，即人口总数达到极限值一半之前是加速
生长的，r