第3大题：计算题
分
1m2R2β22一并代入式1得R1由式3得β2β1R2由式2得T1T2
3110分如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧与一轻柔绳相连接，该绳跨过一半径为R，转动惯量为I的定滑轮，绳的另一端悬挂一质量为m的物体。开始时，弹簧无伸长，物体由静止释放。滑轮与轴之间的摩擦可以忽略不计。当物体下落h时，试求物体的速度v？MgT1maT1T2RIβT2kx0aβR联立解得amgkxmIR2
由式（2）（3）得
β1
2Mm1m2R12
代入式（3）得β2
∫vdv
0
v
1Im2R
∫
h
0
mgkxd
2Mm1m2R1R2
解得vge
hao2mghkh2mIR23210分一皮带传动装置如图所示，
3310分如图所示，一根细棒长为L，总质量为m，其质量分布与离O点的距离成正比。现将细棒放在粗糙的水平桌面上，棒已知棒与桌可绕过其端点O的竖直轴转动。面间的摩擦系数为，棒的初始角度为ω0。求：（1）细棒对给定轴的转动惯量（2）细棒绕轴转动时所受的摩擦力矩；（3）细棒从角速度ω0开始到停止转动所经过的时间。解1由题意可知细棒的质量线密度为
AB两轮上套有传动皮带。外力矩M作用
在A轮上，驱使其转动，并通过传动皮带带动B轮转动。AB两轮皆可视为质量均匀分布的圆盘，其质量分别为m1和m2，半径分别为R1和R2。设皮带在轮上不打滑，并略去转轴与轮之间的摩擦。试求AB两轮的角加速度β1和β2。解
λkr
式中k为常数。由于细棒的总质量为m，所以
MT1T2R1
12m1R1β12
（1）………………………2分
12T1T2R2m2R2β22
（2）………………2分
∫
L
0
krdrm…
由此得由于皮带不打滑，切向速度相同，其变化率即切相加速度相同：故
k
2mL22mrL2
………
λkr
R1β1R2β2
f又
I∫r2dm∫r2λdr
所以
T1′－mgsi
α＝maA①mg－T2′＝maB②又T1′＝T1，T2′＝T2③
I∫
L
0
2m31rdrmL2…22L
（2）细棒上到转轴距离为r的长度元dr所受到的摩擦力及摩擦力矩分别为
对定滑轮，由转动定律得T2R－T1R＝Iβ④
dfgdmgλdrdMrdf
2mg2rdrL2
2mgrdrL2
由于绳不可伸长，所以aA＝aB＝Rβ又I＝⑤
整个细棒所受到的摩擦力矩为
1mR22
M
2mgL2
∫
L
0
r2dr
2mgL3
联立式①，②，③，④，⑤得T1＝
方向沿轴向下3设细棒由角速度ω0到停止转动所经历的时间为t，则角动量定理可得
23si
amg532si
amg521si
ag5
T2＝
aA＝aB＝
Mt0Iωo21gLtmL2ωo323ωLto4g
aAr