2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
第一试（80分钟）一、填空题（本题满分56分，每小题8分）
1已知数列
a

的前

项和S
23
4

N

，则
a1a3a5a21________．
2若集合Ax

x3ax1xR为空集，则实数a的取值范围是________．

3设x、y为实数，2xy1，则二元函数ux24xy22y的最小值是________4设F1、F2分别是双曲线
x2y21的左、右焦点，以F1F2为直径的圆交双曲线左支a2b2
于A、B两点，且AF1B120双曲线的离心率的值介于整数k与k1之间，则
k________．
5已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为216，则四面体AB1CD1与四面体A1BC1D的重叠部分的体积等于________．6设
x
表
示
不
大
于
x
的
最
大
整
数
，
则
log31log32log33log3258________．
7设方程x2
1a2
x2
a2
1x2
1a1xa00的根都是正数，a12
1，且则a0的最大值是________．820091911的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格．
二、解答题（本题满分14分）
求函数
fxsi
4xta
xcos4xcotx的值域．
三、解答题（本题满分15分）
如图，抛物线y22x及点P11，过点P的不重合的直线l1、l2与此抛物线分别交于点A，
fB，C，D．证明：A，B，C，D四点共圆的充要条件
是直线l1与l2的倾斜角互补．
yCAPODBx
四、解答题（本题满分15分）
设a，b是正数，且a1，b1，求证：
a1b125a1b1．a41b4164
55
第二试（150分钟）一、（本题满分50分）
如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE的内切圆与DE切于点M，△ABC的BC边上的旁切圆切BC于点N，点P是BE与CD的交点，求证M、N、P三点共线
A
DB
MPN
E
C
二、（本题满分50分）
设k，
为给定的整数，
k2对任意
元的数集P，作P的所有k元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q，集合Q中元素个数是CQ，求CQ的最大值
三、（本题满分50分）
设M
2
12
22
s，
1
2
s是互不相同的正整数，求证：

12
M2
2

22
2

s2
1

2

M
四、（本题满分50分）
求满足下列条件的所有正整数x，y：（1）x与y1互素；（2）x2x1y3
f2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试
一、填空题（本题满分56分，每小题8分）12682r