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证明：
作FE中点C，1连OC，1过F作FD1E1CD交AB于D，1AE于E1则OC1PPBO90，因此O，P，C，1B四点共圆因此OPC1OBC，1而FD1E1CD，因此OPC1D1FC1因此OBC1D1FC，1由视角定理有B，F，D，1C1四点共圆有FBAFC1D1FEA由此D1C1AE考虑ΔFEE，1C1是FE中点，因此D1是FE1中点这样由FE1GH有OGAOOH，即OGOH
D1E1AD1D1F
4解
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设BDxCEy对O及点A用圆幂定理得AH2AGAF22616AH4
ABC是正三角形ABAC9BH5同理对O及点BO及点C分别用圆幂定理可得
BDBE25x9y25CECD7y7y7
解得x1121y721
2
2
DE9xy21
5．证明：
对O和N运用圆幂定理有NP2NBNA，即证NBNANMNQ再对O和N运用圆幂定理NBNANMNQ即得
6证明
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连PO交ST于点H作OMPB于点M易知点M为AB中点
1PAPB12PA2AMPM即有
2
2
1PAPBPM12
CMOCHO90
CMOH四点共圆
PCPMPHPOPS2
又PS是O切线所以PS2PAPB从而有
PCPMPAPB2将1带入2整理即得
1211PCPAPB
7．证明：
由题断的形式可以联想到Ptolemy定理，因此构造如图的四边形使ABaADbBCxCDyBD1，BADBCD90则符合题设因此A，B，C，D四点共圆由Ptolemy定理有axbyACBDBD21最后一步是由于直径是圆内最大的弦
8．证明：
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设内心为I，连IA，IB，IC，OA，OB，OC，设ODxOEyOFz
外接圆半径为R内切圆半径为r
则SΔABCSΔIABSΔIBCSΔIAC
abcr2
另一方面，
SΔABCSΔOABSΔOBCSΔOAC
cxbyazabcr
2
2
有cxbyazabcr
注意到OF垂直于AB，OD垂直于BC，因此O，D，B，F四点共圆
由Ptolemy定理
所以有zaxcRb
2
2
2
即azcxbR
同理aybxcR
bzcyaR
上三式相加
ayzcxybxzabcR
再加此式cxbyazabcr
xyzabcabcRr
即xyzRr
9证明
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作ABC的外接圆过C作CDAB交圆于D
连ADDCD和BD如图
因AA180ADBCDBB
则ADBBCD
从而ABCDCB
有ABBCACDCCBDB
即cabDCaDB
故DCacDBab
a
a
又ABDC
可知BDACbBCADar