求解圆锥曲线中的几何最值问题
一、根据圆锥典线第一定义转化为三点共线问题：
x2y21内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动2516
例1：已知椭圆
点，求PAPF的最大值与最小值。
分析：求PAPF的最大值与最小值考虑用普通方法比较难解，则我们可作适当转化，利用椭圆第一定义，把PF转化为与另一焦点有关的线段，即PF2aPF再结合平面内三点共线时有最值，而点P在线段延长线的不同侧时，会使PAPF取得最大值或最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为F，可知其坐标为F（3，0），由椭圆的第一定义得：
PFPF10，则PAPF10PAPF，可知，当P为AF的延长线与椭圆的交
点时，PAPF最大，最大值为AF2，当P为FA的延长线与椭圆的交点时，
PAPF最小，最小值为AF2。故PAPF的最大值为102，最小值为
102。
策略：本题中巧用第一定义解题：动点到两定点距离之和等于定值2a，两定点为焦点，a为长半轴，利用这定义，把所要求的目标：转化为容易求解的目标。即把PAPF转化
10PAPF，即转化为A、F、P三点共线进行讨论，当P点在AF延长线时，所求
函数有最大值，当P点在FA的延长线时，所求函数有最小值。
x2y21内有一点B62F1、F2分别为双曲线左右焦点，P是双169
例2：已知双曲线
曲线右支上的动点，求PF2PB的最小值。
f分析：求PF2PB的最值，用一般方法来解比较困难，则我们可以从定义入手，利用双曲线第一定义，把PF2转化为PF18而PBPF1为平面内三点距离之和，当BPF1点共线时有最小值。解如图2，由题意得F150、F250，有双曲线
PB（6，2）
的第一定义得PF1PF28
所以
PF2PBPF2PF18，当p点在如图2位置时有
最小值，当P点在如图2位置时有最小值，即
F1
F2
图2
F2
PF1PBBF16522255
PF2PB的最小值为558。
所以
例3：设P是y24x上的一个动点，求P点到A11的距离与p点到直线l：x1的距离d之和的最小值。分析此题中的l：x1刚好是抛物线的准线，而点A在准线l上，由抛物线第一定义可把P到直线的距离转化为P到焦点F10距离，即所求距离转化为PAPF而PAPF刚好是三点距离之和，而在平面中，当三点共线即A、P、F三点共线时它们所得距离之和最小。解：如图3，由抛物线第一定义得PAdPAr