第三章线性方程组
§1消元法
一授课内容：§1消元法
二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元
法解线性方程组
三教学重难点：用消元法解线性方程组
四教学过程：
所谓的一般线性方程组是指形式为
a11x1a12x2a1
x
b1
a21
x1

a22x2
a2
x


b2
（1）
a
1x1a
2x2a
x
b

的方程组，其中x1x2x
代表
个未知量，s是方程的个数，aij
（i12s，j12
）称为方程组的系数，bj（j12s）称
为常数项所谓方程组（1）的的一个解就是指由
个数组成的有序数组
（k1k2k
），当x1x2x
分别用k1k2k
代入后，（1）中每个
等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合如
果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方
程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵来表示
在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1．用一非零的数乘某一方程
f2．把一个方程的倍数加到另一方程3．互换两个方程的位置定义1变换1，2，3称为线性方程组的初等变换消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组
c11x1c12x2c1rxrc1
x
d1

c22x2c2rxrc2
x
d2



crrxrcr
x
dr0dr1
（5）

00



00
显然（5）与（1）是同解的考察（5）的解的情况
如（5）中的方程0dr1，而dr10这时不管x1x2x
取什么值
都不能使它成为等式，故（5）无解，因而（1）也无解
当dr10，或（5）中根本没有“00”的方程时，分两种情况：
1）r
，这时阶梯形方程组为有唯一解
例解方程组
42xx112xx22
3x35x3
14

2x12x36
解上述方程有唯一的解916
2）r
，这时阶梯形方程组为
其中cii0，i12s，把它改写成
c11x1c12x2c1rxrd1cx1r1r1c1
x


c22x2c2rxrd2cx2r1r1c2
x



（7）

crrxrcrr1xr1d
crr1xr1c
x

f由（7）我们可以把x1x2xr通过xr1x
表示出来，这样一组表
达式r