第十三讲幂级数与傅里叶级数
131幂级数与傅里叶级数的一般概念
一、幂级数1．定义形如（1）
∑a


x
及（2）∑a
xx0


的函数项级数叫幂级数．令xx0t，则
级数（2也可化为（1，所以以后主要讨论（l）形式的幂级数．2．收敛特性（阿贝尔定理）收敛特性（阿贝尔定理）幂级数
∑a


x
有一个收敛半径R，R0时，a
x
仅在x0点收敛；Ro时，当当∑
∑a∑a


x
在区间（一RR）内逐点收敛，且内闭一致收敛，称（一RR）为幂级数x
的收敛区间；当0R∞时，在x±R点，幂级数可能收敛，也可能发散，


当在x±R收敛时，称RR为幂级数的收敛域．3．收敛半径的求法若lim
a
ρ，则收敛半径R
→∞
1
ρ
ρ0时，R∞ρ∞时，R0
1
注：1）若lim
a
（
→∞

ρ，则收敛半径依然为R
ρ
；当然由

→∞
lim
a
ρlim
a
1ρ
→∞a
a
→∞a1

也可以用它来求．有时直接写作Rlim
2）这种求收敛半径的公式仅适用于对标准形式的幂级数，对缺项的（如仅有偶数项或仅有奇数项等）幂级数不适用．4．收敛域的求法1）对标准的幂级数，可先求出收敛半径，然后再判断区间端点处级数的敛散，从而确定出幂级数的收敛域．2）对非标准的幂级数或一般的函数项级数的收敛域的求法，可将一般项加绝对值后，用比值或根式判别法让极限小于1，解出x的取值范围．例131求下列幂级数的收敛域：
x
（1）∑
a0b02ab

x
（∑2
；3）x
；
2
f4）
112x∑si
2
2x


解：l
ρlim

→∞
111所以收敛半径Rmaxab．为讨论问题
maxabρab

方便，不妨设ba0，则Rb当x±b时，级数为
∑a
±b


b

，此时有

→∞
lim
±b
a
b

lim
→∞
±1
a1b

≠0
级数发散，故收敛域为RR2）注意这是一个非标准的幂级数，用正项级数的根式判别法．因当x≤1时，
22x
0x1x
x
lim11，级数∑
收敛；而当x1时，
→∞22
2x±12

→∞
lim

lim

→∞
22x
x
x
lim∞，级数∑
发散故幂级数的收敛域为11
→∞22
2
（3）令y级数为
1
，则原级数变为∑
y，它的收敛半径Rlim1当y±1时，
→∞
1x

∑±
一般项不趋于零，发散，故级数∑
y
的收敛域为∞1∪1∞
的收敛域为11，从而原级数
∑x



4）令r