空间几何体的表面积和体积命题趋势与题型解读
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。预测高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；题型一：柱体的体积和表面积例1．如图1所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB5，AD4，AA13，AB⊥AD，∠A1AB∠A1AD
。3
（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。
图1图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1MA1N，从而OMON。∴点O在∠BAD的平分线上。（2）∵AMAA1cos∴AO
133×223
32。2
222
AMcos

4

又在Rt△AOA1中，A1OAA1AO9－
99，22
∴A1O
3232302。，平行六面体的体积为V5422
题型二：柱体的表面积、体积综合问题
f例2．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则VV1V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF
1S4
V1
1171hSSSSh34412
V2ShV1
5Sh，12
∴V1∶V27∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型三：锥体的体积和表面积例3．在三棱锥SABC中，∠SAB∠SAC∠ACB90°，且ACBC5，SB5图所示）（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB∠SAC90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩ACA，∴SA⊥平面ABC。由于∠ACB90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在Rt△SCB中，BC5，SB5（r