第2章解析函数
21解析函数的概念及CR条件
复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间
21fz在z0x0iy0点可导的充分必要条件是（
）
（A）在x0
y0
点uv
可导，且满足
CR
条件，即
ux

vy

uy


vx
在x0
y0
成立
（B）fz在x0y0点的一个邻域内可导
（C）在x0y0点uv可微，且满足CR条件
（D）在x0y0点uv具有连续的偏导数，且满足CR条件
解由上题的推导过程知，若fz在z0点可导，则uv在x0y0可微，且
uvauvb
xy
yx
在x0y0点成立
反之，若uv在x0y0可微，且满足CR条件，则
fzuiv
z
z
uxxuyyivxxvyyoz
z
z
uxxiyivxxvxiyoz
z
z
uxivxzoz
z
z
故
lim
z0
fzz

ux

ivx
选（C）
22
若
ux
y


x
xyy2

x2y20vxyxyfzuiv，则函数fz
0
x2y20
（）（A）仅在原点可导（B）处处不可导（C）除原点外处处可导（D）处处可微
解uxy在原点虽有yv0但不可微；而除原点外uv可微但不满足CR条xy
件，因此，fz处处不可导
选（B）
fzz如此简单一个函数却处处连续但不可导！
23若fzx2y2axbyicxy3x2y处处解析，则abc（）
（A）322（B）232（C）（232（D）232
解由CR条件及
u2xau2ybvcy3vcx2故c2a2b3
x
y
x
y
23若fzxy2ix2y则fz（）（A）令在直线yx上可导（B）仅在直线yx上可导
（C）仅在（0，0）点解析（D）仅在（0，0）点可导
21
f解uxy2uy2xyvx2xyvyx2，要满足CR条件，要求y2x2及2xy2xy，只有（0，0）点能满足此条件
选（D）
要记住在极坐标下的CR条件
zrieirei中“”表示等价（无穷小）的意思z0这里由于是极坐
标故uurrurvvrrvr而
zrreirei当0zrei令r0zreisi
1isi

reii0“～”是等价无穷小的等价符号
24导出在极坐标下的CR条件
解即zreiuurvvrfzurivrfz在r处可导
的CR条件，分两种解法1用坐标变换法
uuxuyuuyux
xrrr2yrrr2
uv的变化与之一样，故由CR条件xy
得
ur
xr

yr2
u

vr
yr

xr2
v
及
uyxuvxyv
rrr2rrr2
x2y1得y2x1
r
vr


u
r
u

v
r
这便是在极坐标下CR条件
2直接用定义
fzzfzurruriv
uiv
而
zrreirei
reiei1rei
当r00时，zrieirei
故fzlimuiv存在，令0有z0z
fzr