313空间向量的数量积运算
教学要求：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的长度，角度问题教学重点：两个向量的数量积的性质．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入1复习平面向量数量积定义：2平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积二、新课讲授1两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，abcos叫做向量a、b的数量积，记作ab，即ab＝abcos注：两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞．注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②0说明：⑴两个向量的数量积是一个实数，不是向量，它的符号由cos的符号决定⑵符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
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f2空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴λab＝λab＝aλb数乘结合律；⑵ab＝ba交换律；分配律
⑶ab＋c＝ab＋ac
3空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴ae＝｜a｜cos＜ae＞；⑵a⊥bab＝０⑶当a与b同向时，ab＝｜a｜｜b｜；当a与b反向时，ab＝－｜a｜｜b｜⑷cos＜ab＞＝
abab
⑸aa＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2（6）｜ab｜≤｜a｜｜b｜三、教学例题例1已知向量ab，向量c与ab的夹角都是60，且a1b2c3，下列各式的值：1）ab2；（2）a2bb2c；（3）bc练习：在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，
BAD90BAADAA60求AC的长
例2在正四面体OABC中，E、F分别是AB、OC的中点，求异面直线OE与BF所成的角的余弦值
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f练习．在空间四边形OABC中，OA8，AB6AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值
王新敞
奎屯新疆
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