第六章平面向量及其应用
本章总结
专题一向量的线性运算平面向量的线性运算是近几年高考的考查重点和热点，通常以几何图形为依托考查向量的线性运算，重在对向量的分解与合成，一般以选择题或填空题的形式出现．
→→
例1如图，已知OA＝a，OB＝b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线段→
CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示OD的表达式为
A194a＋3bC132a＋b
→→→→→解析∵OD＝OC＋CD＝OC＋13CB
→→→→→＝OC＋13OB－OC＝23OC＋13OB
→→＝49OA＋13OB＝194a＋3b，∴故选A答案A
B1169a＋7bD143a＋b
f专题二向量的数量积运算数量积的运算是本章的核心，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不等式等，因此它的应用也最广泛．利用数量积可以求长度、也可判断直线与直线之间的关系相交的夹角以及垂直，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知识融合在一起，当然更为重要的还在于向量与解析几何中的交汇．例2平面内给定三个向量a＝32，b＝－12，c＝41．1求满足a＝mb＋
c的实数m、
；2若a＋kc∥2b－a，求实数k；3设d＝x，y满足d－c∥a＋b，且d－c＝1，求向量d解1∵a＝mb＋
c，∴32＝－m＋4
2m＋
．
∴－2mm＋＋
＝4
＝2，3，
m＝59，解得
＝98
2∵a＋kc∥2b－a，
又a＋kc＝3＋4k2＋k，2b－a＝－52，
∴23＋4k＋52＋k＝0，即k＝－1136
3∵d－c＝x－4，y－1，a＋b＝24，
又d－c∥a＋b，d－c＝1，
∴4

x－4x－4
－2y－1＝0，2＋y－12＝1，
x＝4＋55，解得y＝1＋255
x＝4－55，或y＝1－255
∴d＝4＋55，1＋255或d＝4－55，1－255．→→
例3如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则APAC＝________
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解析∵APAC＝APAB＋BC＝APAB＋APBC＝APAB＋APBD＋DC＝
→→→→
APBD＋2APAB，→→
又∵AP⊥BD，∴APBD＝0
→→→→
→
∵APAB＝APABcos∠BAP＝AP2，
f→→→∴APAC＝2AP2＝2×9＝18答案18
平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．
例4已知△ABC中，∠ACB是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE
证明建立如图所示的直角坐标系，设Aa0，Ex，y，则B0，a．∵D是BC的中点，∴D0，a2．
→→
又r