第二节空间几何体的表面积与体积
2019考纲考题考情
1．几何体的表面积
1棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。
2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。3若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。4若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝πr21＋r22＋πr1＋r2l。5球的表面积为4πR2球半径是R。
2．几何体的体积
1V柱体＝Sh。2V锥体＝13Sh。
3V台体＝13S′＋
SS′＋Sh，V
1圆台＝3π
r21＋r1r2＋r22h，V
4球＝3π
R3球半径是
R。
1．与体积有关的几个结论1一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差。2底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等。2．几个与球有关的切、接常用结论1正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a。2若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2。3正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
f一、走进教材
1．必修2P27练习T1改编已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为
A．1cm
B．2cm
C．3cm
3D2cm
解析由题意，得2πl×12＝2πr，l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr2r＝3πr2
＝12π，解得r2＝4，所以r＝2cm。
答案B
2．必修2P28A组T3改编如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。
解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝13×12×12a×12b×12c＝418abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－418abc＝4487abc，所以V1∶V2＝1∶47。
答案1∶47
二、走近高考3．2018全国卷Ⅱ已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78。SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________。解析如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′。△SAB的面积为12SASBsi
∠ASB＝12SA21－cos2∠ASB＝1165SA2＝515，所以SA2＝80，SA＝45。因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SAcos45°＝45×22＝210。所以圆锥的侧面积为π×AS′×AS＝π×210×45＝402π。
f答案402π4．2017全国卷Ⅰ某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面r