＝3
所以椭圆C：x42＋y32＝1
2①设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为Ax1，y1，Bx2，y2，
x＝my＋1，由x42＋y32＝1，
化简得3m2＋4y2＋6my－9＝0，易知Δ0，
所以y1＋y2＝－3m62＋m4，y1y2＝－3m29＋4，
所以kAPkBP＝yx11－－321yx22－－321＝y1m－y132ym2－y232＝m12y1y2－32
y1＋y2y1y2
9＋4
＝－1m－34，
所以t＝kABkAPkBP＝－m12－43m＝－1m＋382＋694，
所以当
m＝－83时，t
9有最大值64
f②设直线l的方程为y＝23x＋
，直线l与椭圆C的交点为Ax1，y1，Bx2，y2，
y＝23x＋
，x2y24＋3＝1，
得3x2＋23
x＋2
2－6＝0，
Δ＝23
2－4×32
2－60，即－6
6x1＋x2＝－233
，x1x2＝2
23－6，OA2＋OB2＝x21＋y21＋x22＋y22＝x21＋x22＋y21＋y22＝x21＋x22＋23x1＋
2＋23x2＋
2＝74x21＋x22＋3
x1＋x2＋2
2＝74x1＋x22－72x1x2＋3
x1＋x2＋2
2＝74－233
2－722
23－6＋3
－233
＋2
2＝7所以当直线l的斜率为23时，OA2＋OB2为定值72．2017泰州期末如图486，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：x42＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D－65，0设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2
图4861求k1k2的值；2记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；3求证：直线AC必过点Q解1设Bx0，y0，则C－x0，－y0，x420＋y20＝1，A20，
f所以k1k2＝x0y－02x0y＋02＝x20y－204＝1x－20－14x420＝－14
2联立yx＝2＋ky12＝x4－
得1＋k21x2－4k21x＋4k21－1＝0，
解得xp＝
k21－1＋k21
，yp＝k1xp－2＝－1＋4kk211，
y＝k1x－联立x42＋y2＝1
得1＋4k21x2－16k21x＋44k21－1＝0，
解得xB＝
k21－1＋4k21
，yB＝k1xB－2＝1－＋44kk121，
所以kBC＝yxBB＝4－k212－k11，kPQ＝xPy＋P65＝
－4k1
1＋k21k21－1＋k21
＋56＝4－k215－k11，
所以kPQ＝52kBC，故存在常数λ＝52，使得kPQ＝52kBC
3当直线PQ与x轴垂直时，Q－65，－85，
8
则kAQ＝
－56
＝12＝k2，所以直线AC必过点Q
－5－2
当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：y＝4－k215－k11x＋65，
联立y＝4－k215－k11x＋65x2＋y2＝4
，解得
xQ＝－
k21－16k21＋1
，
yQ
＝
16k116k21＋1
，
所
以
kAQ＝
16k1
16k21＋1
－
k12－
16k21＋1
－2r