第九章平面解析几何第48课直线与椭圆的位置关系课时分层训
练
A组基础达标建议用时：30分钟1．如图485，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆xa22＋yb22＝1ab0过点A21，离心率为23
图485
1求椭圆的方程；2若直线l：y＝kx＋mk≠0与椭圆相交于B，C两点异于点A，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程【导学号：62172267】
解
x2y21由条件知椭圆a2＋b2＝1ab0的离心率为
e＝ca＝
23，
所以b2＝a2－c2＝14a2又点A21在椭圆xa22＋yb22＝1ab0上，
41所以a2＋b2＝1，
解得ab22＝＝82，x2y2
所以，所求椭圆的方程为8＋2＝12将y＝kx＋mk≠0代入椭圆方程，得x2＋4kx＋m2－8＝0，整理得1＋4k2x2＋8mkx＋4m2－8＝0①由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－1＋8m4kk2＝0，
因为k≠0，所以m＝0因为当m＝0时，B，C关于原点对称，设Bx，kx，C－x，－kx，
f由方程①，得x2＝1＋84k2，
又因为AB⊥AC，A21，
所以→AB→AC＝x－2－x－2＋kx－1－kx－1＝5－1＋k2x2＝5－
＋k21＋4k2
＝
0，
所以k＝±12
由于k＝12时，直线y＝12x过点A21，故k＝12不符合题设．
所以，此时直线l的方程为y＝－12x
2．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之
和为4，离心率为23
1求椭圆C的方程；
2若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．
解1设椭圆的标准方程为ya22＋xb22＝1ab0，
由条件可得a＝2，c＝3，b＝1，故椭圆C的方程y42＋x2＝1
2设Ax1，y1，Bx2，y2，
由x2＋y42＝1，y＝kx＋1，
得k2＋4x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－k22＋k4，x1x2＝－k2＋34设△OAB的面积为S，由x1x2＝－k2＋340，知S＝12x1＋x2＝12x1－x2
＝12
x1＋x22－4x1x2＝2
k2＋3k2＋2，
令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2
t＋11t＋2，
对函数y＝t＋1tt≥3，知y′＝1－t12＝t2t－210，
f∴y＝t＋1t在t∈3，＋∞上单调递增，
∴t＋1t≥130，∴0t＋11t＋2≤136，∴S∈0，23
B组能力提升建议用时：15分钟1．2017苏锡常镇调研一在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：xa22＋yb22＝1ab0
过点P1，32，离心率为121求椭圆C的方程；2设直线l与椭圆C交于A，B两点．①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最
大值；
②若直线l的斜率为23，试探究OA2＋OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若
不是定值，请说明理由【导学号：62172268】
解
191a2＋4b2＝1，
a2－b21a＝2，得
a2＝4，b2r