放入另一个袋中．求这样交换
次后，黑球仍在甲袋中的概率．解：
设A
“第
次交换后黑球在甲袋中”，并设PA
p
，
12．由全概率公式，得
p
PA
PA
1PA
A
1PA
1PA
A
1
p
1211p
133
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f20132014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案
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21111p
1p
1p
133333
1111111p
22p
223333333
11111p
1
22
11333331111
11
1p133
1p1331233133

111p1
1．
11323
而
p1
2，代入上式，得3
p

1211111111
1
1．
1332332232
十二．（本题满分9分）设随机变量XN01，求随机变量Y2X1的密度函数pYy．
2
解：
12X的密度函数为pXxe，x．2
所以，随机变量Y2X21的分布函数为
y1FYyPYyP2X21yPX2．2
x2


所以，当y1时，FYy0；当y1时，
y1FYyPX2P2
2FYy20
y12
y1X2
y1122
y12

e

x22

y12
2dx2
y12

0
e

x22
dx，
即

0
e

x22
dxy1，y1
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f20132014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案
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对FYy求导，得随机变量Y的密度函数为
2pYyFYye20y122
2

122y1
y1y1
y11e42y10
y1y1
．
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