1问可以通过线面垂直去求证线线垂直第2分析问可利用第1问结论进一步求解第3问可以从线面平行需要的条件进行转化亦可以从空间向量方向入手解法一1证明连BD设AC交BD于O由题意SO⊥AC在正方形ABCD中AC⊥BD所以AC⊥平面SBD得解法一AC⊥SD2设正方形边长a则SD又OD
2a
2a所以∠SDO＝60°2
连OP由1知AC⊥平面SBD所以AC⊥OP且AC⊥OD所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角由SD⊥平面PAC知SD⊥OP所以∠POD＝30°即二面角P－AC－D的大小为30°3在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC由2可得PD
2a故可在SP上取一点N使PN＝PD过N作PC的平行线与SC的交点即为E连BN在△BDN4
中知BN∥PO又由于NE∥PC故平面BEN∥平面PAC得BE∥平面PAC由于SN∶NP＝2∶1故SE∶EC＝2∶1解法二1证明连BD设AC交BD于O由题意知SO⊥平面ABCD以O为坐标原点OB、OC、OS分别为x解法二轴、y轴、z轴正方向建立坐标Oxyz如图设底面边长为a则高SO于是S00
6a2
622aDa00C0a02222OC＝0a0226SD＝a0a22OCSD0
故OC⊥SD从而AC⊥SD2由题设知平面PAC的一个法向量DS＝二面角为θ则cosθ
2a02
6a平面DAC的一个法向量OS＝002
6a设所求2
ΟSDSΟSDS

3所求二面角的大小为30°2
3在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC由2知DS是平面PAC的一个法向量
2a02设CEtCS
且DS＝
626aCS＝0aa22222aa1t226at2
则BEBCCEBCtCS＝
13即当SE∶EC＝2∶1时BE⊥DS
而BEDS0t而BE不在平面PAC内故BE∥平面PAC
f2010（18）解：以H为原点，HAHBHP分别为xyz轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则
A100B010
（Ⅰ）设Cm00P00
mp0
f0则
1mD0m0E0221mPE
BCm1022mm0022
可得
因为PEBC所以
PE⊥BC
（Ⅱ）由已知条件可得m
33
1故C0033
D0
3130E0P001326
设
xyx为平面PEH的法向量
则

HEo
HPo
1x3y026即z0
因此可以取
130，由PA101，
uuur
可得
uuur2cosPA
4
24
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为
2011
18解：（Ⅰ）因为∠DAB60°AB2AD由余弦定理得BD3AD从而BD2AD2AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD故PA⊥BD
（Ⅱ）如图，以D为坐r