专题层级快练二十
1．若a2，则函数fx＝13x3－ax2＋1在区间0，2上恰好有

A．0个零点
B．1个零点
C．2个零点
D．3个零点
答案B
解析∵f′x＝x2－2ax，且a2，∴当x∈0，2时，f′x0，
即fx在0，2上是单调减函数．
又∵f0＝10，f2＝131－4a0，∴fx在0，2上恰好有1个零点．故选B
2．2014课标全国Ⅰ已知函数fx＝ax3－3x2＋1，若fx存在唯一的零点x0，且x00，则
a的取值范围是A．2，＋∞C．1，＋∞答案B
B．－∞，－2D．－∞，－1
解析方法一：当a＝0时，显然fx有两个零点，不符合题意．
当a≠0时，f′x＝3ax2－6x，令f′x＝0，解得x1＝0，x2＝2a
当a0时，2a0，所以函数fx＝ax3－3x2＋1在－∞，0与2a，＋∞上为增函数，在0，2a
上为减函数，因为fx存在唯一零点x0，且x00，则f00，即10，不成立．
当a0时，2a0，所以函数fx＝ax3－3x2＋1在－∞，2a和0，＋∞上为减函数，在2a，0
2
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上为增函数，因为fx存在唯一零点x0，且x00，则fa0，即aa3－3a2＋10，解得a2
或a－2，又因为a0，故a的取值范围为－∞，－2．选B
方法二：f′x＝3ax2－6x，当a＝3时，f′x＝9x2－6x＝3x3x－2，则当x∈－∞，0时，f′x0；x∈0，23时，f′x0；x∈23，＋∞时，f′x0，注意f0＝1，f23＝590，
则fx的大致图像如图1所示，不符合题意，排除A，C
f当a＝－43时，f′x＝－4x2－6x＝－2x2x＋3，则当x∈－∞，－32时，f′x0，x∈－32，0时，f′x0，x∈0，＋∞时，f′x0，注意f0＝1，f－32＝－54，则fx的大致图像如图2所示．不符合题意，排除D故选B3．已知函数fx＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．答案－∞，2l
2－2解析由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex
有解．令函数gx＝2x－ex，则g′x＝2－ex，令g′x＝0，得x＝l
2，所以gx在－∞，l
2上是增函数，在l
2，＋∞上是减函数，所以gx的最大值为gl
2＝2l
2－2因此，a的取值范围就是函数gx的值域，所以，a∈－∞，2l
2－2．4．函数fx＝13x3＋ax2＋bx＋ca，b，c∈R的导函数的图像如图所示．
1求a，b的值并写出fx的单调区间；2若函数y＝fx有三个零点，求c的取值范围．答案1a＝－12，b＝－2函数fx在－∞，－1和2，＋∞上单调递增，在－1，2上单调递减2－76，130解析1因为fx＝13x3＋ax2＋bx＋c，所以f′x＝x2＋2ax＋b
因为
f′x＝0
－1＋2＝－2a，
的两个根为－1，2，所以
解得
－1×2＝b，
a＝－12r