线性方程组单元练习题
196
年，数学一，6
分求齐次方程组
x1x1

x2x2

x3

x5
00
的基础解系

x3x4x50
分析：求基础解系分三步：系数矩阵行变换到最简，写出通解方程组，自由
变量取定值。
解：11
11
01
00
1100
10
01
00
1110
10
01
00
11
001110001000010

RA532自由变量为x2x5通解方程组为：

x1x3

x2x5

x5
x40
1
1

x2x5



10


01

则基础解系为1




100

2
0



1
0

0


1

298年，数学一，5分
a11x1a12x2a12
x2
0
已
知
线
性
方
程
组
A
a
21
x1


a22x2ax22
2


0的一个基础解系为
a
1x1a
2x2a
2
x2
0
b11b12b12
Tb21b22b22
Tb
1b
2b
2
T试写出线性方程组
b11y1b12y2b12
y2
0
Bb21y1
b22y2b22
y2


0的通解，并说明理由
b
1y1b
2y2b
2
y2
0
解：设方程组A的系数矩阵为A，B的系数矩阵为B。由于B的每一行
即BT的每一列都是Ax0的解，所以BT满足ABT0
又BATABTT0AT的每一列即A的每一行是By0的解。由此得到
方程组B的一组
个解a11a12a12
Ta21a22a22
Ta
1a
2a
2
T
由于b11b12b12
Tb21b22b22
Tb
1b
2b
2
T是A的基础解系，故RBRSA
由（A）的解的结构RA2
RSA
即A的行向量组线性无关
f又因为方程组B的解集是RSB2
RB
所以A的行向量是B的解空间的一组基。所以方程组B的通解为：k1a11a12a12
Tk2a21a22a22
Tk
a
1a
2a
2
T
其中k1k2k
是任意常数
304数学一，9分设有齐次线性方程组
1ax1x2x
0
2
x1


2ax2
2x


0

x1
x2
ax
0

2
试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解。
解：令系数矩阵为B
1a
系数矩阵
2
12a


12
1



2
12

1a
2
＋
0
0a

00



a

00a
1

A

aE

B其中B


2
12

1
2

RB

1



111
111
2EB
2
2




2
1
2
2

2





111




2
1
0


0



1
12
00
B的特征值为
1，0002
AaEBA的特征值为a
1aaa2
Aa
1a
12
AX0有非零解RA
A0a0或a1
1
2
f1
a

0时，A


2
12

11
2



0
10

1
0
通
解方
程为
：


000
x1x2x
0得基础解系为：
11100T21010T
11001T方程组通解为：
k11k22k
1
1
1a
a



2
1
时，A


2

12a


11r