1求下列函数的定义域：
习题81
1zxy；
解：xy0y0Dxyy0xy
2zl
yx
x
；
1x2y2
解：yx0x01x2y2Dxyyx0且x2y21
3uR2x2y2z2
1
Rr0；
x2y2z2r2
解：0R2x2y2z2，0x2y2z2r2
Dxyzr2x2y2z2R2
4uarccosz。x2y2
解：
z
1x2y20Dxyzx2y2且x2y20
x2y2
2求下列多元函数的极限：
1liml
xey；
x1y0
x2y2
解：liml
xeyl
11l
2
x1y0
x2y2
1
22lim
xy4；
x0
xy
y0
解：令txy，lim2
xy4lim2
t4

1
t


4
12
lim2
1
x0
xy
t0t
t0
1
4
y0
f3limsi
xy；x0x
y5
解：limsi
xy5limsi
xy5
x0x
x05x
y5
y0
4
lim
x0y0
1cosx2y2x2y2ex2y2

；
解：
1
cosx2

y2

2si

x2
2
y2
2

lim
x0y0
1cosx2x2y2ex
y
2y
2
2


2
12
0

0
5limx2y2xy。x0y0
解：设xy0两边取对数xyl
x2y2，由夹逼定理
xyl
xyxyl
x2y2x2y2l
x2y2
limxyl
x2y2
当xy

0时同理可得lim
xyl
x2

y2

0limx2

y2xy

x0
ey0
1
x0
x0
y0
y0
3证明下列极限不存在：
1limxy；x0xy
y0
证明：当xy沿直线ymx趋于原点00时fxyfxmx1mx1mx
limxy1mm不同时极值也不同所以极限不存在。x0xy1m
y0
2
lim
x2y2
。
x0x2y2xy2
y0
证明：
当xy沿直线yx趋于原点00时fxyfxx1lim
x2y2
1
x0x2y2xy2
y0
f当xy沿直线y2x趋于原点00时fxyfx2x0
lim
x0
x2y2
x2y2x
y2

0极值不同，所以不存在
y0
4讨论下列函数在点00处的连续性：
1
f
x
y

x2

y2
l
x2

y2

0
x2y20
；
x2y20
解：连续，limfxylimx2y2l
x2y20f00
x0
x0
y0
y0
2
f

x
y

x

y
cos
1x

x0；
0
x0
解：连续，x0时，limfxylimxycos10x0时limfxy0
x0
x0
x
x0
y0
y0
y0
limfxyf000x0y0
3
f
x
y

2xy

x
2

y2

0
x2y20
。
x2y20
解：不连续
f
x

2xyx2y2
在（0，0）处极限不存在。
当xy沿直线y
mxm0趋于原点00时f
xy
f
xmx

1
2mm2
limfxy2mm不同时极值也不同所以极限不存在。
x0
1m2
y0
1求下列函数的一阶偏导数：
1zxyxy
习题82
f解：zy1zxxy2
x
yy
2zarcsi
x；x2y2
解：zyzxyxx2y2yyx2y2
arcta
y
3zx2y2ex；
解：
zx

arcta
y
2xex
x2

y
2

e
arcta

yx
11
1y2

y1x2

arcta
y
ex2x

y
x
zy

arcta
y
2yex
x2

y
2
e

arcta

yx

1
1

1y
2

y
1x

arcta
y
ex2yr