第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×）
1．若线性无关向量组1r用施密特法正交化为1r则对任何
k1kr向量组1k与向量组1r等价
√
2若向量组1r两两正交则1r线性无关
√
3
阶正交阵A的
个行列向量构成向量空间R
的一个规范正交基
√4若A和B都是正交阵则AB也是正交阵
5若A是正交阵yAx则yx
√√
6．若A
x
12x
1，则2是A
的一个特征值
×
7方阵A的特征向量只能对应唯一的特征值反之亦成立×
8
阶矩阵A在复数范围内有
个不同的特征值
×
9矩阵A有零特征值的充要条件是A0
√
10若是A的特征值则f是fA的特征值其中f是的多项式
√
11设1和212是A的特征值x1和x2为对应特征向量则x1x2也是A的
特征向量
×
12AT与A的特征值相同
√
13
阶矩阵A有
个不同特征值是A与对角矩阵相似的充分必要条件×
14若有可逆矩阵P使
阶矩阵AB满足PAP1B则A与B
有相同的特征值
√
15两个对角矩阵的对角元素相同仅排列位置不同则这两个对角矩阵相似
√
16设
阶矩阵AB均与对角阵相似且有相同的特征值则A与B相似√
17．实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩
√
18若12k线性无关且都是A的特征向量，则将它们先正交化，再单位
化后仍为A的特征向量
√
19实对称阵A与对角阵相似：P1AP，这里P必须是正交
f阵。
×
20．已知A为
阶矩阵，x为
维列向量，如果A不对称，则xTAx不是二次型
21任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。
×√
22．二次型fx1x2x
xTAx在正交变换xPy下一定化为标准型
×
23任给二次型fx1x2x
xTAx，总有正交变换xPy，使f化为规范型。
×
二、填空题
11．向量11求两向量2____3____使123两两正交1
A
s
2

101T
3


112
1
T

2
2若A是正交阵即ATAE则A_____
A
s1或1
3设
A


51
60
00

则
A的特征值为________123
121
4
阶方阵Aaij的特征值为12
则A___________
a11a22a
_____________
5设二阶行列式A的特征值为23若行列式2A48则____1
6设三阶矩阵A的特征值为112则4A1E_____
A3A2E______A
s159
7
已知
A


20
01
01

的伴随矩阵
A
有一特征值为

2
，则
x

1或2

00x
f8若二阶矩阵A的特征值为1和1，则A2008E

9当
x
___时矩阵
r