全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）
导数与函数的单调性
一、基础知识函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在区间a，b内可导，1若f′x0，则fx在区间a，b内是单调递增函数；2若f′x0，则fx在区间a，b内是单调递减函数；3若恒有f′x＝0，则fx在区间a，b内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持
“定义域优先”原则
二、常用结论1在某区间内f′x0f′x0是函数fx在此区间上为增减函数的充分
不必要条件．2可导函数fx在a，b上是增减函数的充要条件是对x∈a，b，都有
f′x≥0f′x≤0且f′x在a，b上的任何子区间内都不恒为零．
考点一利用导数研究函数的单调性典例已知函数fx＝l
x＋a1x－1aa∈R且a≠0，讨论函数fx的单调性．ax－1解f′x＝ax2x0，①当a0时，f′x0恒成立，
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∴函数fx在0，＋∞上单调递增．
②当
a0
时，由
ax－1f′x＝ax20，得
x1a；
由
ax－1f′x＝ax20，得
0x1a，
∴函数fx在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减．
综上所述，当a0时，函数fx在0，＋∞上单调递增；
当a0时，函数fx在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减．
解题技法讨论函数fx单调性的步骤1确定函数fx的定义域；2求导数f′x，并求方程f′x＝0的根；3利用f′x＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′x的正负，由符号确定fx在该区间上的单调性．提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
专题训练1．函数fx＝ex－x＋11在定义域内为________函数填“增”或“减”．
解析：由已知得函数fx的定义域为xx≠－1．
∵fx＝ex－1，∴f′x＝ex＋10
x＋1
x＋12
∴fx在定义域内为增函数．答案：增2．已知函数fx＝al
x＋x2a∈R且a≠0，讨论函数fx的单调性．解：函数fx的定义域为0，＋∞．
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因为fx＝al
x＋x2，所以f′x＝ax＋2x＝2x2x＋a①当a0时，f′x0，所以函数fx在0，＋∞上单调递增．②当a0时，令f′x＝0，解得x＝－a2负值舍去，当0x－a2时，f′x0，所以函数fx在0，－a2上单调递减；当x－a2时，f′x0，所以函数fx在－a2，＋∞上单调递增．综上所述，当a0时，函数fx在0，＋∞上单调递增；当a0时，函数fx在0，－a2r