第五章定积分
习题51
1填空
（1）limf0i1
ixi
2介于x轴，函数fx的图像及两条直线xaxb之间的各部分面积的代数和。
2．利用定积分的定义计算
1
（1）xdx0
解：fx在区间01上连续
将01分成
等分，不妨设分点为
xi
i
123
小区间xixi1的长度为xi
1
i
123
取ixii123
则由定积分定义得
f
i1
i
xi
i
i1
xi
i1
i
11
2
i1
i
1
2
12
当时
1
0
xdx
lim
0
i1
ixi
lim
1
2
12
12
（2）
1exdxlim
f
0
i1
i
xi
lim
i1
f
i1
1lime
2
e
1
e
1
e
1
1
1
lim
e
1
e
1
1e
11elim
1
e
1
1elime
1
1e
1
e1
3画出被积函数的图像，由定积分的几何意义就可以得到要证得等式成立。
4根据定积分的几何意义、题中积分区间关于原点对称和奇函数、偶函数的性质就可以得到。
5由定积分的几何意义介于x轴，函数fx的图像及两条直线xaxb之间的各
f部分面积的代数和。就可以说明两式相等
习题52
1填空（1）区间长度，函数表达式；自变量
（2）bfxdxa
2填空：
1
c
a
f
xdx
b
c
f
xdx
2mb
a
b
a
f
xdx
M
b
aa
b
3
b
a
f
xdx
a
b
f
xdx
（4）曲边梯形各部分面积代数和等于以f与ba为邻边的矩形面积；
（5）下列每组积分的大小关系是：
1x2dx1x3dx
0
0
2x2dx2x3dx
1
1
2
l
xdx
2l
x2dx
1
1
1
e
xdx
1
x1dx
0
0
3、估计下列各定积分的值：
（1）3x22dx1
结果：63x22dx221
1
1
0xdx0l
x1dx
2si
xdx2xdx
0
0
过程：令fxx22x13
fx0其中x13
fmi
f13fmaxf311
由定积分的估值定理得：
3
3
1
3
1
x
2
2dx
11
3
1
63x22dx221
3
（2）3xarcta
xdx3
结果
19
3
3xarcta
xdxdx
3
r
