第五章定积分及其应用
本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义之后讨论它的性质与计算方法最后，来讨论定积分的应用问题
第1节定积分的概念与性质
11定积分问题举例111曲边梯形的面积
曲边梯形设函数yfx在区间ab上非负、连续由直线xaxby0及曲
线yfx所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧yfx称为曲边
求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面
积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间ab中任意
插入若干个分点（图51）
ax0x1x2x
1x
b
把ab分成
个小区间
x0x1x1x2x2x3x
1x

它们的长度依次为x1x1x0x2x2x1x
x
x
1经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成
个窄曲边梯形在每个小区
间xi1xi上任取一点i以xi1xi为底、fi为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯
形，i123
，把这样得到的
个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值
即

Af1x1f2x2f
x
fixii1
求曲边梯形的面积的精确值
显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每
个小曲边梯形的宽度趋于零记maxx1x2x
于是上述增加分点使每个
小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0所以曲边梯形的面积为


Alim0
i1
fixi
1
f图51
112变速直线运动的路程
设物体作直线运动已知速度vvt是时间间隔T1T2上t的连续函数且vt0
计算在这段时间内物体所经过的路程S
求近似路程
我们把时间间隔T1T2分成
个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内物体
运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度vi物体在时间
间隔ti内运动的路程近似为siviti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的路
程加起来作为物体在时间间隔T1T2内所经过的路程S的近似值具体做法是在时间间隔T1T2内任意插入若干个分点
Tir