启示：能否把功W看成两个向量F和S的一种运算结果呢？
为此我们引入平面向量数量积，今天，我们就来学习平面向量的数量积。
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
a
与
b已的知数两量个积非（零或向内量积a）与，b记，作它：们a的b夹，角即为：θa，b我们a把b数co量s
ab。
cos
叫做向量
（2）定义说明：
①记法“
a

b
”中间的“”不可以省略，也不可以用“

”代替。
②规定：零向量与任何向量的数量积为零。
【设计意图】1认识向量的数量积的实际背景。2使学生在形式上认识数量积的
定义。3从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算
从而产生强烈的求知欲望。
3、提出问题3：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数
量积大小的因素有哪些？
答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小
不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。
4、学生讨论并完成下表：
θ的范围
a

b
的符号
0°≤θ90°
θ90°
90°θ≤180°
【设计意图】引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的
f符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。
5、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念：
叫做如向图量，b在我们a方把向b上co（sa（在ab
cos）方向上）的投影，
记做：OB1bcos
（2）提出问题4：数量积的几何意义是什么？
答：数量积
a
b
等于
a
的长度
a
与b
在
a
的
方向上的投影bcos的乘积。
【设计意图】这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数
量积的特征有了更加充分的认识。
6、研究数量积的物理意义
（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。
（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降
10米；②、竖直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米；④、沿倾角为
30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。
【设计意图】通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；
另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的
性质埋下伏笔。
活动三：探究数量积的运算性质
1、提出问题5：
（1）将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（2）比较
a
b
与
a
b
的大小，你有什么结论？
2、请证明上述结论。
3、明晰：数量积的性质
设123、、、a特当a与别ab与b地是b，同非a当向零ba向时量，0ba时，b则
a
b
r