作：12
12
矩阵等价A经过有限次初等变换化为B记作：AB矩阵A与B等价rArBAB作为向量组等价即：秩相等的向量组不一定等价
矩阵A与B作为向量组等价r12
r12
r12
12
矩阵A与B等价向量组12s可由向量组12
线性表示r12
12sr12
r12s≤r12
向量组12s可由向量组12
线性表示且s
，则12s线性相关向量组12s线性无关且可由12
线性表示则s≤
向量组12s可由向量组12
线性表示且r12sr12
则两向量组等价；
任一向量组和它的极大无关组等价
向量组的任意两个极大无关组等价且这两个组所含向量的个数相等
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若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等
若A是m
矩阵则rAmi
m
若rAm，A的行向量线性无关；
若rA
，A的列向量线性无关即：
12
线性无关
线性方程组的矩阵式Ax
a11a12
A


a21
a22

am1am2
a1

x1
b1
a2


x


x2



b2


am



x


bm

向量式x11x22x

1j

j

2j



j
12



mj

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可由12








线性表示


Ax有解
rArA










Ax有无穷多解Ax有非零解当A为方阵时A0
12


线性相关

Ax有唯一组解Ax只有零解当A为方阵时A0
12

线性无关

当A为方阵时克莱姆法则
不可由12
rArA

线性表示


Ax

无解
rA

rA

rA1rA
矩阵转置的性质：ATTA矩阵可逆的性质：A11A
ABTBTATkATkAT
ATA
AB1B1A1kA1k1Ar