第一讲数与式
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．
一、乘法公式
【公式1】平方差公式：a2b2abab
【公式2】完全平方公式：ab2a22abb2
【公式3】完全立方公式：ab3a33a2b3ab2b3
【公式4】abc2a2b2c22ab2bc2ca（完全平方公式）
证明：abc2abc2ab22abcc2
a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ca等式成立
【例1】计算：x22x123
解：原式x22x123
x222x2122x22x2x21212x
3
33
x422x38x222x1
3
39
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
【公式5】aba2abb2a3b3立方和公式
证明aba2abb2a3a2bab2a2bab2b3a3b3
【公式6】aba2abb2a3b3立方差公式
证明：aba2abb2aba2abb2a3b3a3b3
【例2】计算：
（1）4m164mm2
（2）1m1
1m21m
1
25225104
（3）a2a2a44a216（4）x22xyy2x2xyy22
解：（1）原式43m364m3
（2）原式1m31
31m31
3
5
21258
（3）原式a24a44a242a2343a664
（4）原式xy2x2xyy22xyx2xyy22
x3y32x62x3y3y6
说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
【例3】已知x23x10，求x31的值．x3
f解：x23x10x0x13x
原式xr