证明不等式的基本方法不等式的证明方法之一：比较法
教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：一、新课学习：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
abab0
abab0
abab0
二、典型例题：
3322例1、设ab都是正数，且ab，求证：ababab。
例2、若实数x1，求证：31x2x41xx22证明：采用差值比较法：
31x2x41xx22
33x3x1xx2x2x2x
242423
2x4x3x12x12x2x12x1x
22
12
34
13x1从而x120且x2024
∴
132x12x2024
∴
31x2x41xx22
讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？
f例3、已知abR求证abab
abba
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1差值比较法：注意到要证的不等式关于ab对称，不妨设ab0
ab0aabbabbaabbbaabbab0
2）商值比较法：设ab0
，从而原不等式得证。

aaabba1ab0baab1故原不等式得证。bbab
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度
行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度
行走。如果m
，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1t2。要回答题目中的问题，只要比较t1t2的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t1t2，根据题意有
t1tSS2SSm
t2，可得t1m1
S，，t2，2m2
m
2m
22
从而t1t2
2SSm
S4m
m
2Sm
2，m
2m
2m
m
2m
m

其中Sm
都是正数，且m
。于是t1t20，即t1t2。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果m
，甲、乙两人谁先到达指定地点？三、课堂练习：1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
2（1）x与xx1；（2）xx1与x1
222
f2．已知a1求证：（1）ar