第二讲证明不等式的基本方法
课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：一、新课学习：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
abab0abab0abab0
二、典型例题：
例1、设ab都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2。例2、若实数x1，求证：31x2x41xx22
证明：采用差值比较法：
31x2x41xx22
33x23x41x2x42x2x22x3
2x4x3x1
2x12x2x12x12x123
24x1从而x120且x1230
24∴2x12x1230
24∴31x2x41xx22
讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？
用心爱心专心
教学札记
1
f例3、已知abR求证aabbabba
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1差值比较法：注意到要证的不等式关于ab对称，不妨设ab0ab0
，从而原不等式得证。
aabbabbaabbbaabbab02）商值比较法：设ab0
a1ab0b
aabbabba
aabb
1故原不等式得证。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度
行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度
行走。如果m
，
问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1t2。要回答题目中的问题，只要比较t1t2的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t1

t
2
，根据题意有
t12
m
t12



S
，
S2m

S2


t2，可得t1

2Sm

，t2

Sm
2m

，
从而t1
t2

2Sm


Sm
2m


S4m
m
22m
m



Sm
22m
m

，
其中Sm
都是正数，且m
。于是t1t20，即t1t2。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果m
，甲、乙两人谁先到达指定地点？
三、课堂练习：1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）x2与x2x1；（2）x2x1与x12
用心爱心专心
2
f2．已知a1求证：（1）a22a1
（2r