kxk50003000
解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为
xyx2y290．
22
由于该方程有整数根，则判别式≥0，且是完全平方数．由解得
y
2
两式相加，得则
kx
y

kx
5000
y2k3000
，．
y
2
2y4
2
29y7
2
≥1061，
xy
21500013000
3750
≤
1167
1657
．于是1109488953164
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段0116AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则
AHAB
y
2

显然，只有y当y
4
2
16时，4是完全平方数，符合要求．
4x30
2
的值为
．
时，原方程为x2
，此时x1
1x23；1x43
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．由题设知AC
13
EFAFHA90
当y＝－4时，原方程为x所以，原方程的整数解为
x11y14
4x30
，此时x3
．
AD
，AB

13
AE
，在△FHA和△EFA中，
EAF
，FAH
x23y24
x31y34
x43y44
所以
Rt△FHA∽Rt△EFA，
AHAF
AHAB
13

AFAE

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为
k5000
而AF
AB
，所以


（第7题）
8．已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1a2
a3a4a59
的五个不同的整
2009
km．
数，若b是关于x的方程xa1xa2xa3xa4xa5则b的值为【答】10．解：因为ba1ba2ba3ba4ba5
k3000
的整数根，
．
安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为
又设一对新轮
2009，a1，2，3a4a5且aa，，
是
胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm分别以一个轮胎的总磨损量为等
五个不同的整数，所有ba1，ba2，ba3，ba4，ba5也是五个不同的整数．
f又因为2009
117741，所以
ba1r