＋A→A′，又A→E＝xA→D＋yA→B＋zAA→′，
f所以x＝12，y＝12，z＝1
用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：
1熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；2要注意数形结合思想的运用．
再练一题2如图314，已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表示向量O→G
图314【解】O→G＝O→M＋M→G＝12O→A＋23M→N＝12O→A＋23M→A＋A→B＋B→N＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋12B→C＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12O→C－O→B＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c
探究共研型
用已知向量表示未知向量
探究1已知空间四边形ABCD中，A→B＝a，B→C＝b，A→D＝c，试用a，b，c
f表示C→D【提示】由空间向量的加法、减法运算可知B→D＝c－a，C→D＝B→D－B→C＝c
－a－b探究2如图315所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与
B1D1的交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，试用a，b，c表示B→M
图315【提示】由图形可知：B→1M＝12B→1D1＝12b－a．B→B1＝A→A1＝c，则B→M＝B→B1＋B→1M＝c＋12b－12a
已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中点OQ是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
图3161O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A；2P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D【精彩点拨】利用空间向量的线性运算法则求解．【自主解答】1∵O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12P→A＋P→C＝P→Q－12P→A－12P→C，∴x＝y＝－122∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C
f又∵P→C＋P→D＝2P→Q，∴P→C＝2P→Q－P→D从而有P→A＝2P→O－2P→Q－P→D＝2P→O－2P→Q＋P→D∴x＝2，y＝－2
利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．
应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．
再练一题3．如图317所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝cM是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1用a，b，c表示以下向量：
图3171A→M；2A→N【解】1A→M＝12A→C1＋A→D1＝12A→B＋A→D＋A→A1＋A→D＋A→A1＝12A→B＋2A→D＋2A→A1＝12a＋b＋c2A→N＝A→C＋C→N＝A→C＋45A→A1－A→C
f＝15A→B＋15A→D＋45A→A1＝15a＋15b＋45c
构建体系
1．下列命题中，假命题是A．向量A→B与B→A的长度相等B．两个相等的向量，r