在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹
角。如图，设二面角l的大小为，其中ABlABCDlCD
结论：
cos

cos
ABCD


ABCDABCD

B

A

lC
D
f②法向量法
1
2

2

1

l

1
2

1
1
2
1
2
2
l
结论：
coscos
1
2
1
2
1
2
或
coscos
1
2
1
2
1
2
归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例3、如图，ABCD是一直角梯形，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD1，2
z
求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值
S
解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则
B
C
A000C110D010S0012
易知面
SBA的法向量为

1

AD

0
12
0
，
ADy
x
CD110SD011
2
2
设面SCD的法向量为
2xyz，则有
x

y2

y2
z
0
，取z
0
1，得x
1
y

2，
2

1112
cos
1
2
1
2
1
2
63
6
即所求二面角的余弦值为
3
练习1：如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求二面角AA1BC1的
余弦值；
解：取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设
z
平面AA1B的法向量为
x，y，z．AB103，
A
A1
AA1

0，2，0
．


AB


AA1




AA1

2y

0

ABx3z10
令z1，得平面A1AD的一个法向量
301
COB
x
设平面A1BC1的法向量为vabc．BA1123，BC1220．
FD
B1
C1
y
v

BA1v

BC1




BA1

a

2b

3c0

BC12a2b0
f令a1，得平面A1BC1的一个法向量v113
cos
v
v23
v25
15所求的二面角AA1BC1的余弦值为5
15。5
练习2
如图2，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ADBC，∠ABC900，SA⊥面ABCD，SA1，2
ABBC1，AD1。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。2
解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，1），A2
（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），2
zS
∴SA001SB011SD101SC111，
2
2
2
2
2
AD
B
y
显然平面SBA的一个法向量为
11，0，0，
x
设平面SCD的一个法向量为
2x，y，z，则
2⊥平面SCD
C图2
∴

2
2

SDSC

00

2x
x
z2y
0z
0
取z2则
2
212
则cos

1
2



1
2
1
2


1213

23
，
所以面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为2。3
三、小结：1．异面直线所成的角：coscosm
m
m
2．直线和平面所成的角：si
cos
AB
AB
AB
3．二面角：coscos
1r