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在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹
角。如图,设二面角l的大小为,其中ABlABCDlCD
结论:
cos

cos
ABCD


ABCDABCD

B

A

lC
D
f②法向量法
1
2

2

1

l

1
2

1
1
2
1
2
2
l
结论:
coscos
1
2
1
2
1
2

coscos
1
2
1
2
1
2
归纳:法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角
例3、如图,ABCD是一直角梯形,ABC90,SA面ABCD,SAABBC1,AD1,2
z
求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值
S
解:如图建立空间直角坐标系Axyz,则
B
C
A000C110D010S0012
易知面
SBA的法向量为

1

AD

0
12
0

ADy
x
CD110SD011
2
2
设面SCD的法向量为
2xyz,则有
x

y2

y2
z
0
,取z
0
1,得x
1
y

2,
2

1112
cos
1
2
1
2
1
2
63
6
即所求二面角的余弦值为
3
练习1:如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.求二面角AA1BC1的
余弦值;
解:取B1C1中点O1,以O为原点,OB,OO1,OA的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.设
z
平面AA1B的法向量为
x,y,z.AB103,
A
A1
AA1

0,2,0



AB


AA1




AA1

2y

0

ABx3z10
令z1,得平面A1AD的一个法向量
301
COB
x
设平面A1BC1的法向量为vabc.BA1123,BC1220.
FD
B1
C1
y
v

BA1v

BC1




BA1

a

2b

3c0

BC12a2b0
f令a1,得平面A1BC1的一个法向量v113
cos
v
v23
v25
15所求的二面角AA1BC1的余弦值为5
15。5
练习2
如图2,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ADBC,∠ABC900,SA⊥面ABCD,SA1,2
ABBC1,AD1。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。2
解:以A为原点如图建立空间直角坐标系,则S(0,0,1),A2
(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),2
zS
∴SA001SB011SD101SC111,
2
2
2
2
2
AD
B
y
显然平面SBA的一个法向量为
11,0,0,
x
设平面SCD的一个法向量为
2x,y,z,则
2⊥平面SCD
C图2


2
2

SDSC

00

2x
x
z2y
0z
0
取z2则
2
212
则cos

1
2



1
2
1
2


1213

23

所以面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为2。3
三、小结:1.异面直线所成的角:coscosm
m
m
2.直线和平面所成的角:si
cos
AB
AB
AB
3.二面角:coscos
1r
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