利用空间向量求空间角
目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；
一、复习回顾向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：ababcosab（2）两向量夹角公式：cosababab
a
二、知识讲解与典例分析
知识点1：两直线所成的角（范围：0）2

O
b
（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a与b，那么直线a与b所成的锐角
或直角，叫做异面直线a与b所成的角
（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为a和b，
问题1：当a与b的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成
aO
的角与a和b的夹角的关系？
ab
b
b
问题2：a与b的夹角大于90°时，，异面直线a、b所成的角
a
与a和b的夹角的关系？
ab
O
结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为coscosm
m
m

例1如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a侧棱长为2a，求AC1和CB1所成的角
解法步骤：1写出异面直线的方向向量的坐标。2利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则A000C1
3a1a22
2aC
312a2a0B10a
2a
31
31

AC1
2
aa2
2a，CB1
2
aa2
2a
ZA1
即cos
AC1CB1


AC1CB1AC1CB1

3a223a2

12
A

AC1
和CB1所成的角为
3
1
A
总结（1）cosDF1BE1与cosDF1E1B相等吗？
（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
xA
x
C1
CB1
1B
C1
yC
DB
y
DB
f知识点2、直线与平面所成的角（范围：0）2
思考：设平面的法向量为
，则
BA与的关系？


A
A
A
B
O
B
O

BA2
（图1）

B
O（图2）



BA2
据图分析可得：结论：
si
cos
AB
AB
AB
例2、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a侧棱长为2a，求AC1和面AA1B1B所成角的正弦值
分析：直线与平面所成的角步骤：1求出平面的法向量2求出直线的方向向量3求以上两个向量的夹
角，锐角其余角为所求角
解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则AA1002aAB0a0
AC1
3a1a22
2a
设平面AA1B1B的法向量为
xyz
由



AA1AB
00

2azay0
0

yz

00
取
x

1，


100
设AC1和面AA1B1B所成角为
si

cosAC1

AC1


AC1N
32
a
2


1
3a22

AC1
和
面AA1B1B
所成角的正弦值
12

知识点3：二面角（范围：0）
ZA1
A
1
A
xA
x
C1
CB1
1B
C1
C
D
D
B
B
yy
①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（r