x的变化如下表所示：
x
1
0e

1
1
e

e

fx

0

fx


…………7分
1
1
所以函数fx在0e
上单调递增在e
上单调递减
1
则当xe
时函数
fx有最大值
1
fe

1
；……………8分

e
由函数
gx

exx


x0求导得
gx

ex
xx
1


……………9
分
913
f令gx0解得x

当x变化时gx与gx的变化如下表所示：
x
0




gx

0

gx


所以函数gx在0
上单调递减在
上单调递增
则当x
时函数gx有最小值g
e
……………11分

因为
N函数
1
fx有最大值fe

1
1

e
所以曲线
y

l
xx

在直线l：y
1的下方而曲线
y

exx

在直线l：y
1的上方
所以e
1……………12分
解得
e
所以
的取值集合为12
……………13分
19．〔本小题满分14分〕
〔Ⅰ〕解：由点
P
1
32

和
F1
关于点
C
0
34

对称得
F1

1
0
………………1
分
所以椭圆E的焦点为F110F210………………2分
由椭圆定义得2aPF1PF24
所以a2ba2c23
………………4分
故椭圆E的方程为x2y21………………5分43
〔II〕解：结论：存在直线l使得四边形PABQ的对角线互相平分………………6分
理由如下：
由题可知直线l直线PQ的斜率存在
1013
f设直线l的方程为ykx1直线PQ的方程为y3kx1…………7分2
x2y2
由
4

3
1
消去y
ykx1
得34k2x28k2x4k2120………………8分
由题意可知0设Ax1y1Bx2y2
则
x1

x2

8k234k2

x1x2

4k23
124k2

……………9分

由

x2y2143
消去y

y

32

kx
1
得34k2x28k212kx4k212k30
由


0
可知
k


12
设
Qx3
y3

又
P1
32

则
x3
1

8k212k34k2

x3
1
4k212k34k2
3

………………10分
若四边形PABQ的对角线互相平分则PB与AQ的中点重合
所以
x1
2
x3

x21即2
x1

x2
1
x3…………11
分
故x1x224x1x21x32
…………12分
所以
3
8k24k2
2

4
4k23
124k2

1
4k212k34k2
32

解得k34
所以直线l为3x4y30时四边形PABQ的对角线互相平分……14分
〔注：利用四边形PABQ为平行四边形则有PQAB也可解决问题〕20．〔本小题满分13分〕
1113
f〔Ⅰ〕解：符合条件的点列为T：P111P212P322P432；
或T：P111P221P322P432；或T：P111P221P331P432．………3分
〔Ⅱ〕证明：由已知得xiyixi1yi11
所以数r