坐标系与参数方程知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
0xx在变换设点Pxy是平面直角坐标系中的任意一点0yy
的作用
坐标系中的坐标伸缩变换称下点Pxy对应到点简称伸缩变换2极坐标系的概念
Pyx为平面直角
极坐标系1
OO引一条射自极点叫做极点如图所示在平面内取一个
定点Ox叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧度线及其正方向通常取逆
时针方向这样就建立了一个极坐标系注极坐标系以角这一平面图形为几何背景而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系而极坐标系则不可但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系
2极坐标OxO为始记为以极轴OM与点M的距离叫做点M的极径M设是平面内一点极点
xOMOM叫做点有序数对记为边射线M为终边的角的极坐叫做点M的极角M
记作标0可取任意实数我们认为不作特殊说明时一般地M∈R和直角坐标不同0
在极点时它的极坐标为平面内一个特别地当点点的极坐标有无数种表示200表示那么除极点外平面内的点可用唯一的极坐标如果规定表示的点也是唯一确定的
同时极坐标极坐标和直角坐标的互化31
1互化背景把直角坐标系的原点作为极点x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系中取相同
f的长度单位如图所示
xyM标是极坐标是面内任意一点它的直角坐化2互公式设标是坐平0于是极坐
标与直角坐标的互化公式如
表

极坐直角坐点222yxcosx互化公式ysi
yxta
0xta
M所在的象限最小正
角确定角时在一般情况下由可根据点
4常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
f圆心在极点半径20rr的圆为
0r半径圆心为cos2r22r的圆为
r为圆心半20si
2r
r的圆径为
2
倾斜角为过极点
的直线

R或R100和2
f0a与极轴过点cosa22垂直的直线
a极与过点2si
a0
轴平行的直线
即一表示形式不唯的注由于平面上点极坐标的2这与点的直角
坐标的都表示同一点的坐标只要求至少有一个能满足唯一性明显不同所以对于曲线上的点的
极坐标的多种表示形式M为可以点程例极坐标方程即可如对于极坐标方表示
4452或2或的极坐标满足方只有等多种形式其中
44444444程二、参数方程
参数方程的概念1
tyx的函数一般地在平面直角坐标系中如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数ftxyMxt都在这条曲线上①并且对于的每一个允许值由方程组①所确定的点ygttyx相对的变数简称参数叫做参变数联系变数那r