si
120°cosC－2cos120°si
C＝2si
C＋3cosC＋si
C＝22si
C＋3cosC＝27si
C＋α，其中ta
α＝3，α是第一象限角，2
由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值275．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km答案302解析如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，60BM由正弦定理得＝，解得BM＝302km．si
45°si
30°
f题型一正、余弦定理的简单应用例11在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，si
C＝23si
B，则A等于A．30°B．60°C．120°D．150°
2在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asi
A＝2b＋csi
B＋2c＋bsi
C，则si
B＋si
C的最大值为A．0B．11C2D2
思维启迪1由si
C＝23si
B利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A2要求si
B＋si
C的最大值，显然要将角B，C统一成一个角，故需先求角A，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A答案解析1A2B1∵si
C＝23si
B，由正弦定理得c＝23b，
b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋23bc3∴cosA＝＝＝＝，2bc2bc2bc2又A为三角形的内角，∴A＝30°2已知2asi
A＝2b＋csi
B＋2c＋bsi
C，根据正弦定理，得2a2＝2b＋cb＋2c＋bc，即a2＝b2＋c2＋bc由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，1故cosA＝－，又A为三角形的内角，∴A＝120°2故si
B＋si
C＝si
B＋si
60°－B＝31cosB＋si
B＝si
60°＋B，22
故当B＝30°时，si
B＋si
C取得最大值1思维升华1在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．1在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于
f7A25
7B．－25
7C．±25
24D25
2已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．答案解析π1A26bc1由正弦定理＝，si
Bsi
C
8b5b将8b＝5c及C＝2B代入得＝，si
Bsi
2B851化简得＝，si
B2si
BcosB4则cosBr