si
120°cosC-2cos120°si
C=2si
C+3cosC+si
C=22si
C+3cosC=27si
C+α,其中ta
α=3,α是第一象限角,2
由于0°<C<120°,且α是第一象限角,因此AB+2BC有最大值275.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为______km答案302解析如图所示,依题意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,60BM由正弦定理得=,解得BM=302km.si
45°si
30°
f题型一正、余弦定理的简单应用例11在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,si
C=23si
B,则A等于A.30°B.60°C.120°D.150°
2在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asi
A=2b+csi
B+2c+bsi
C,则si
B+si
C的最大值为A.0B.11C2D2
思维启迪1由si
C=23si
B利用正弦定理得b、c的关系,再利用余弦定理求A2要求si
B+si
C的最大值,显然要将角B,C统一成一个角,故需先求角A,而题目给出了边角之间的关系,可对其进行化边处理,然后结合余弦定理求角A答案解析1A2B1∵si
C=23si
B,由正弦定理得c=23b,
b2+c2-a2-3bc+c2-3bc+23bc3∴cosA====,2bc2bc2bc2又A为三角形的内角,∴A=30°2已知2asi
A=2b+csi
B+2c+bsi
C,根据正弦定理,得2a2=2b+cb+2c+bc,即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,1故cosA=-,又A为三角形的内角,∴A=120°2故si
B+si
C=si
B+si
60°-B=31cosB+si
B=si
60°+B,22
故当B=30°时,si
B+si
C取得最大值1思维升华1在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.2解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.1在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c已知8b=5c,C=2B,则cosC等于
f7A25
7B.-25
7C.±25
24D25
2已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,A+C=2B,则角A的大小为________.答案解析π1A26bc1由正弦定理=,si
Bsi
C
8b5b将8b=5c及C=2B代入得=,si
Bsi
2B851化简得=,si
B2si
BcosB4则cosBr